Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 38

Gọi $ O $ là tâm hình chữ nhật $ ABCD $, $ (SAC)∩(SBD)=SO $ suy ra $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $.
Ta có $ AC=\sqrt[] { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } }=2a\Rightarrow OC=a $.
Mà $ AI⊥SC\Rightarrow \Delta SOC\sim \Delta AIC\Rightarrow \frac { CI } { CO }=\frac { CA } { CS }\Rightarrow SC=a\sqrt[] { 6 }\Rightarrow SO=a\sqrt[] { 5 } $.
Ta có: Kẻ $ IM{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }SB\left ( { M\in BC } \right )\Rightarrow SB{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\left ( { AIM } \right ) $, suy ra
$ d\left ( { SB,AI } \right )=d\left ( { SB,\left ( { AIM } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { AIM } \right ) } \right ) $.
Kẻ $ IH{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }SO\left ( { H\in OC } \right )\Rightarrow IH⊥\left ( { ABCD } \right ) $ và $ \frac { HC } { OC }=\frac { IC } { SC }=\frac { 1 } { 3 } $. Ta có $ d\left ( { B,\left ( { AIM } \right ) } \right )=2d\left ( { C,\left ( { AIM } \right ) } \right )=2.\frac { 6 } { 5 }d\left ( { H,\left ( { AIM } \right ) } \right )=\frac { 12 } { 5 }h $.
Kẻ $ HE{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }AD,,HF{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }DC{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { E,F\in AM } \right )\Rightarrow HE⊥HF $ mà $ IH⊥\left ( { HEF } \right ) $ nên $ H.IEF $ là tứ diện vuông tại $ H $.
Ta có: $ \frac { 1 } { h ^ { 2 } }=\frac { 1 } { HI ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HE ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HF ^ { 2 } } $ với $ IH=\frac { 1 } { 3 }SO=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { 3 } $; $ HE=\frac { 5 } { 6 }MC=\frac { 5 } { 6 }.\frac { 1 } { 3 }BC=\frac { 5a\sqrt[] { 3 } } { 18 }; $
$ HF=\frac { 5 } { 4 }MN=\frac { 5 } { 4 }.\frac { 1 } { 3 }AB=\frac { 5 } { 12 }a $. Suy ra $ \frac { 1 } { h ^ { 2 } }=\frac { 1 } { HI ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HE ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HF ^ { 2 } }=\frac { 297 } { 25a ^ { 2 } }\Rightarrow h=\frac { 5a } { 3\sqrt[] { 33 } } $
Vậy ta có $ d\left ( { AI,SB } \right )=\frac { 12 } { 5 }.\frac { 5a } { 3\sqrt[] { 33 } }=\frac { 4a } { \sqrt[] { 33 } } $.