Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 39

Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} OA⊥OB \\ OA⊥OC \\ OB∩OC=O \\ OB,OC⊂\left ( { BOC } \right ) \end{array} \right. $$ \Rightarrow OA⊥\left ( { OBC } \right ) $
Gọi $ I $ là trung điểm của $ NC $
Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BN⊄\left ( { AMI } \right ) \\ BN\parallel MI\ (\text{Do } MI \text{ là đường trung bình của } \Delta BNC) \\ MI⊂\left ( { AMI } \right ) \end{array} \right. $$ \Rightarrow BN{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,\left ( { AMI } \right ) $
Do đó, $ d\left ( { AM,BN } \right )=d\left ( { BN,\left ( { AMI } \right ) } \right )=d\left ( { N,\left ( { AMI } \right ) } \right ) $
Ta lại có: $ \frac { d\left ( { N,\left ( { AMI } \right ) } \right ) } { d\left ( { O,\left ( { AMI } \right ) } \right ) }=\frac { NI } { OI }=\frac { 1 } { 3 }\Leftrightarrow d\left ( { N,\left ( { AMI } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }d\left ( { O,\left ( { AMI } \right ) } \right ) $
Gọi $ P $ là trung điểm của $ BN $, $ Q=OP∩MI $
Do $ \Delta BON $ vuông cân tại $ O $ nên $ OP⊥BN $$ \Rightarrow OQ⊥IQ $ (do $ BN{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,MI $)
Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} MI⊥OQ \\ MI⊥OA \\ OQ∩OA=O \\ OQ,OA⊂\left ( { AOQ } \right ) \end{array} \right. $$ \Rightarrow MI⊥\left ( { AOQ } \right ) $
Mà $ MI⊂\left ( { AMI } \right ) $ nên $ \left ( { AMI } \right )⊥\left ( { AOQ } \right ) $
Ta lại có: $ \left ( { AMI } \right )∩\left ( { AOQ } \right )=AQ $
Trong $ \left ( { AOQ } \right ) $, kẻ $ OH⊥AQ $ tại H$ \Rightarrow OH⊥\left ( { AMI } \right ) $$ \Rightarrow d\left ( { O,\left ( { AMI } \right ) } \right )=OH $
Ta có: $ BN=\sqrt[] { OB ^ { 2 } +ON ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } +a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 2 } $
Do $ \Delta OBN $ vuông cân tại $ O $ nên $ OP=\frac { 1 } { 2 }BN=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $
Ta lại có: $ \frac { OP } { OQ }=\frac { ON } { OI }=\frac { 2 } { 3 }\Leftrightarrow OQ=\frac { 3 } { 2 }OP=\frac { 3 } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }=\frac { 3a\sqrt[] { 2 } } { 4 } $
Xét $ \Delta AOQ $ vuông tại $ O $ có $ OH $ là đường cao, ta có $ OH=\frac { OA.OQ } { \sqrt[] { OA ^ { 2 } +OQ ^ { 2 } } }=\frac { a.\frac { 3a\sqrt[] { 2 } } { 4 } } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +\left ( { \frac { 3a\sqrt[] { 2 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 3\sqrt[] { 17 } } { 17 }a $$ \Rightarrow d\left ( { N,\left ( { AMI } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 3a\sqrt[] { 17 } } { 17 }=\frac { a\sqrt[] { 17 } } { 17 } $.
Vậy $ d\left ( { AM,BN } \right )=\frac { a\sqrt[] { 17 } } { 17 } $.
Cách khác: Gọi $ J=MI∩OB. $ Khi đó $ d\left ( { BN,AM } \right )=d\left ( { BN,\left ( { AIJ } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { AIJ } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }d\left ( { O,\left ( { AIJ } \right ) } \right ) $.
Mà $ \frac { 1 } { d ^ { 2 } \left ( { O,\left ( { AIJ } \right ) } \right ) }=\frac { 1 } { OA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OI ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OJ ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { 3a } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { 3a } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 17 } { 9a ^ { 2 } }\Rightarrow d\left ( { O,\left ( { AIJ } \right ) } \right )=\frac { 3a } { \sqrt[] { 17 } } $
$ \Rightarrow d\left ( { BN,AM } \right )=\frac { a } { \sqrt[] { 17 } }=\frac { a\sqrt[] { 17 } } { 17 } $.