Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 40

Ta có $ AB//CD $$ \Rightarrow AB//\left ( { SCD } \right ) $ nên $ d\left ( { AB,SC } \right )=d\left ( { AB,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $.
Trong mặt phẳng $ \left ( { SAD } \right ) $, kẻ $ AH⊥SD\,\,\,\left ( { H\in SD } \right )\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} CD⊥AD \\ CD⊥SA \\ \end{array} \end{array} \right.\Rightarrow CD⊥\left ( { SAD } \right ) $ mà $ AH⊂\left ( { SAD } \right ) $ nên suy ra $ CD⊥AH\,\,\,\left ( { 2 } \right ) $
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ ta suy ra $ AH⊥\left ( { SCD } \right ) $$ \Rightarrow d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=AH $.
Xét tam giác $ SAD $ vuông tại A ta có $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AD ^ { 2 } } $ $ =\frac { 1 } { 9a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 4a ^ { 2 } }=\frac { 13 } { 36a ^ { 2 } } $ $ \Rightarrow AH=\frac { 6\sqrt[] { 13 } } { 13 }a $. Vậy khoảng cách giữa $ AB $ và $ SC $ bằng $ d=\frac { 6\sqrt[] { 13 } } { 13 }a $.