Bài tập nâng cao · Bài 59
Dạng 2. Tìm điểm
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 59
Trong hệ trục $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $B(0;5)$, $C(4;2)$. Đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $BC$ và đi qua $H\left(1;-\frac13\right)$. Tìm tọa độ điểm $A$ biết tung độ của $A$ nguyên.
Xem lời giải
Lời giải
$\overrightarrow{BC}=(4;-3);\overrightarrow{AB}=(-x;5-y);\overrightarrow{AC}=(4-x;2-y)$.
$d$ đi qua $H$ và vuông góc với $BC$ nên $d:4x-3y-5=0$.
$d$ đi qua $A$ nên $4x_A-3y_A-5=0\Leftrightarrow x_A=\frac{5+3y_A}{4}$ $(1)$.
$ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow x^2+y^2-4x-7y+10=0$ $(2)$.
Thay $(1)$ vào $(2)$ ta được:
$\left(\frac{5+3y_A}{4}\right)^2+y_A^2-4\frac{5+3y_A}{4}-7y_A+10=0 \\ \Leftrightarrow \frac{25}{16}y_A^2-\frac{65}{8}y_A+\frac{105}{16}=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y_A=\frac{21}{5} \\ y_A=1 \end{array} \right.$.
Do tung độ của $A$ nguyên nên $y_A=1\Rightarrow x_A=2$.
Vậy $A(2;1)$.
$d$ đi qua $H$ và vuông góc với $BC$ nên $d:4x-3y-5=0$.
$d$ đi qua $A$ nên $4x_A-3y_A-5=0\Leftrightarrow x_A=\frac{5+3y_A}{4}$ $(1)$.
$ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow x^2+y^2-4x-7y+10=0$ $(2)$.
Thay $(1)$ vào $(2)$ ta được:
$\left(\frac{5+3y_A}{4}\right)^2+y_A^2-4\frac{5+3y_A}{4}-7y_A+10=0 \\ \Leftrightarrow \frac{25}{16}y_A^2-\frac{65}{8}y_A+\frac{105}{16}=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y_A=\frac{21}{5} \\ y_A=1 \end{array} \right.$.
Do tung độ của $A$ nguyên nên $y_A=1\Rightarrow x_A=2$.
Vậy $A(2;1)$.