Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 60

Gọi $a>0$ là độ dài cạnh của hình vuông $ABCD$.
Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $P$ sao cho $DP=\frac12a$.
Tam giác $MCN$ có $MN=\sqrt{MC^2+CN^2}=\frac56a$.
Tam giác $ANP$ có $NP=ND+DP=\frac56a$.
Vậy $\triangle AMN=\triangle APN$ (c.c.c).
Mà $\widehat{MAP}=90^\circ$ (do $\widehat{MAB}=\widehat{DAP}$) nên suy ra $\widehat{MAN}=\widehat{PAN}=45^\circ$.
Suy ra với $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $AN$ thì tam giác $AHM$ vuông cân tại $H$.
Đường thẳng $MH$ qua $M\left(\frac{11}{2};\frac12\right)$ và vuông góc với đường thẳng $AN$ có phương trình là $x+2y-\frac{13}{2}=0$.
Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} 2x+4y=13 \\ 2x-y=3 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac52 \\ y=2 \end{array} \right.$.
Suy ra: $H\left(\frac52;2\right)$ và $HM=\frac{3\sqrt5}{2}$.
Phương trình đường tròn $(C)$ tâm $H\left(\frac52;2\right)$, bán kính $HM=\frac{3\sqrt5}{2}$ là:
$\left(x-\frac52\right)^2+(y-2)^2=\frac{45}{4}$.
Tọa độ $A$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \left(x-\frac52\right)^2+(y-2)^2=\frac{45}{4} \\ 2x-y-3=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=4 \\ y=5 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=-1 \end{array} \right. \end{array} \right.$.
Suy ra $A(1;-1)$ hoặc $A(4;5)$.