Bài tập nâng cao · Bài 61
Dạng 2. Tìm điểm
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 61
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba đường thẳng:
$d_1:x+y-3=0$; $d_2:2x+y-1=0$; $d_3:x-2y+5=0$. Tìm điểm $M$ có hoành độ dương, thuộc đường thẳng $d_1$ đồng thời cách đều hai đường thẳng $d_2$ và $d_3$.
$d_1:x+y-3=0$; $d_2:2x+y-1=0$; $d_3:x-2y+5=0$. Tìm điểm $M$ có hoành độ dương, thuộc đường thẳng $d_1$ đồng thời cách đều hai đường thẳng $d_2$ và $d_3$.
Xem lời giải
Lời giải
Do $M$ thuộc $d_1$ nên giả sử $M(a;3-a)$ $(a>0)$.
Theo bài điểm $M$ cách đều hai đường thẳng $d_2$ và $d_3$ nên ta có:
$d(M,d_2)=d(M,d_3) \\ \Leftrightarrow \frac{|2a+3-a-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|a-2(3-a)+5|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} \\ \Leftrightarrow \frac{|a+2|}{\sqrt5}=\frac{|3a-1|}{\sqrt5} \\ \Leftrightarrow |a+2|=|3a-1| \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a+2=3a-1 \\ a+2=1-3a \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=\frac32\text{ (TM)} \\ a=-\frac14\text{ (KTM)} \end{array} \right.$.
Vậy điểm $M\left(\frac32;\frac32\right)$ là điểm cần tìm.
Theo bài điểm $M$ cách đều hai đường thẳng $d_2$ và $d_3$ nên ta có:
$d(M,d_2)=d(M,d_3) \\ \Leftrightarrow \frac{|2a+3-a-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|a-2(3-a)+5|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} \\ \Leftrightarrow \frac{|a+2|}{\sqrt5}=\frac{|3a-1|}{\sqrt5} \\ \Leftrightarrow |a+2|=|3a-1| \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a+2=3a-1 \\ a+2=1-3a \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=\frac32\text{ (TM)} \\ a=-\frac14\text{ (KTM)} \end{array} \right.$.
Vậy điểm $M\left(\frac32;\frac32\right)$ là điểm cần tìm.