Bài tự luận · Bài 24
Dạng 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số
Bài tự luận Giới hạn của hàm số · Bài 24
(CTST11) Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{x+4}$
b) $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2x^{2}+1}{(2x+1)^{2}}$
c) $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}-2x}}$
d) $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+2x}\right)$.
a) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{x+4}$
b) $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2x^{2}+1}{(2x+1)^{2}}$
c) $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}-2x}}$
d) $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+2x}\right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{x+4}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{4}{x}}=\frac{1}{1+4\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+4\cdot 0}=1$;
b) $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2x^{2}+1}{(2x+1)^{2}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2+\frac{1}{x^{2}}}{\left(2+\frac{1}{x}\right)^{2}}=\frac{2+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{2}}}{\left(2+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x}\right)^{2}}=\frac{2+0}{(2+0)^{2}}=\frac{1}{2}$;
c) Với $x<0$ thì $\sqrt{x^{2}}=|x|=-x$, nên ta có
$\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}-2x}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x\left(3+\frac{1}{x}\right)}{-x\sqrt{1-\frac{2}{x}}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{-\sqrt{1-\frac{2}{x}}}=\frac{3+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x}}{-\sqrt{1-2\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x}}}=-\frac{3+0}{\sqrt{1-2\cdot 0}}=-3$;
d) $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+2x}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^{2}+2x}\right)\left(x+\sqrt{x^{2}+2x}\right)}{x+\sqrt{x^{2}+2x}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{2}-(x^{2}+2x)}{x+\sqrt{x^{2}+2x}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{-2x}{x+x\sqrt{1+\frac{2}{x}}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{-2}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}}=-1$.
b) $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2x^{2}+1}{(2x+1)^{2}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2+\frac{1}{x^{2}}}{\left(2+\frac{1}{x}\right)^{2}}=\frac{2+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{2}}}{\left(2+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x}\right)^{2}}=\frac{2+0}{(2+0)^{2}}=\frac{1}{2}$;
c) Với $x<0$ thì $\sqrt{x^{2}}=|x|=-x$, nên ta có
$\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{3x+1}{\sqrt{x^{2}-2x}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x\left(3+\frac{1}{x}\right)}{-x\sqrt{1-\frac{2}{x}}}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{-\sqrt{1-\frac{2}{x}}}=\frac{3+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x}}{-\sqrt{1-2\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x}}}=-\frac{3+0}{\sqrt{1-2\cdot 0}}=-3$;
d) $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+2x}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^{2}+2x}\right)\left(x+\sqrt{x^{2}+2x}\right)}{x+\sqrt{x^{2}+2x}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{2}-(x^{2}+2x)}{x+\sqrt{x^{2}+2x}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{-2x}{x+x\sqrt{1+\frac{2}{x}}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{-2}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}}=-1$.