Nhân dịp nghỉ hè, Đoàn trường A có tổ chức hai đội thanh niên tình nguyện đến hỗ trợ hai xã vùng sâu. Đội thứ nhất có 8 nam 4 nữ, đội thứ hai có 7 nam 3 nữ. Để phù hợp với công việc tại hai xã, Đoàn trường đã chọn ngẫu nhiên 2 thành viên của đội thứ nhất điều sang đội thứ hai. Sau khi xếp lại nhân sự, đội thứ hai chọn ngẫu nhiên 2 đoàn viên của đội mình tham gia hướng dẫn người dân phòng chống bệnh sốt xuất huyết. Gọi xác suất để trong 2 đoàn viên được chọn ở đội thứ hai có 1 thành viên từ đội thứ nhất điều sang, biết rằng 2 đoàn viên được chọn gồm 1 nam và 1 nữ, là $ \frac { a } { b } $ (với $ a,b $ là các số nguyên dương, $ \frac { a } { b } $ tối giản). Tìm $ a $.

Gọi A là biến cố: “2 người được chọn (1 nam, 1 nữ) có 1 người là chuyển sang, 1 người gốc của đội 2”. Gọi B là biến cố: “đội 2 chọn được 2 người gồm 1 nam và 1 nữ”. Ta cần tính $ P\left ( { A\left | { B } \right . } \right )=\frac { P\left ( { A∩B } \right ) } { P\left ( { B } \right ) } $ Bước 1: Ta xét các trường hợp điều chuyển từ đội 1 sang đội 2 để tìm $ P\left ( { A∩B } \right ) $ Ta cần liệt kê các trường hợp chọn 2 người từ đội 1 sang đội 2: Trường hợp 1: 2 nam Xác suất: ​$ \frac { C_{ 8 } ^{ 2 } } { C_{ 12 } ^{ 2 } }=\frac { 28 } { 66 } $ Đội 2 sau khi thêm 2 nam sẽ có: 9 nam, 3 nữ. Tổng số cách chọn (1 nam, 1 nữ): 9×3=27 Trong đó, số cặp có 1 người mới và 1 người cũ: Nam mới điều chuyển: 2 người Nam gốc: 7 người Nữ gốc: 3 người Nên có thể chọn: 2 nam điều chuyển × 3 nữ gốc = 6 (nam mới, nữ cũ) Vậy xác suất trong trường hợp này để chọn được 1 người mới và 1 người cũ là: $ \frac { 6 } { 27 } $ $ ⇒P_{ 1 } =\frac { 28 } { 66 }.\frac { 6 } { 27 }=\frac { 28 } { 297 } $ Trường hợp 2: 1 nam, 1 nữ Xác suất: ​$ \frac { C_{ 8 } ^{ 1 }.C_{ 4 } ^{ 1 } } { C_{ 12 } ^{ 2 } }=\frac { 32 } { 66 } $ Đội 2 sau khi thêm 1 nam, 1 nữ có: 8 nam, 4 nữ. Tổng cặp (1 nam, 1 nữ): 8×4=32 Số cặp gồm 1 người mới, 1 người cũ: Nam mới (1) × nữ gốc (3) = 3 hoặc Nữ mới (1) × nam gốc (7) = 7 Nên tổng số cặp gồm 1 người mới, 1 người cũ là: 10 cặp Vậy xác suất trong trường hợp này để chọn được 1 người mới và 1 người cũ là: $ \frac { 10 } { 32 } $ $ ⇒P_{ 2 } =\frac { 32 } { 66 }.\frac { 10 } { 32 }=\frac { 5 } { 33 } $ Trường hợp 3: 2 nữ Xác suất: $ \frac { C_{ 4 } ^{ 2 } } { C_{ 12 } ^{ 2 } }=\frac { 6 } { 66 } $ Đội 2 sau khi thêm 2 nữ có: 7 nam, 5 nữ. Tổng số cách chọn cặp (1 nam và 1 nữ): 7×5=35 Trong đó, số cặp có 1 người mới và 1 người cũ: Nữ mới điều chuyển: 2 người Nam gốc: 7 người Nữ gốc: 3 người Nên có thể chọn: 2 nữ mới điều chuyển × 7 nam gốc = 14 (nam mới, nữ cũ) Vậy xác suất trong trường hợp này để chọn được 1 người mới và 1 người cũ là: $ \frac { 14 } { 35 } $ $ ⇒P_{ 3 } =\frac { 6 } { 66 }.\frac { 14 } { 35 }=\frac { 2 } { 55 } $ Tính $ P\left ( { A∩B } \right )=P_{ 1 } +P_{ 2 } +P_{ 3 } =\frac { 28 } { 297 }+\frac { 5 } { 33 }+\frac { 2 } { 55 }=\frac { 419 } { 1485 } $ Bước 2 Tính P(B) (Tổng xác suất chọn 1 nam 1 nữ sau khi điều chuyển) Ta tính từng trường hợp điều chuyển rồi nhân với xác suất chọn 1 nam 1 nữ trong đội 2. Trường hợp 1: 2 nam Xác suất: ​$ \frac { C_{ 8 } ^{ 2 } } { C_{ 12 } ^{ 2 } }=\frac { 28 } { 66 } $ Đội 2 sau khi thêm 2 nam có: 9 nam, 3 nữ. Tổng cặp (1 nam và 1 nữ): 9×3=27 có xác suất là: $ \frac { 27 } { 66 } $ $ ⇒P_{ B_{ 1 } } =\frac { 28 } { 66 }.\frac { 27 } { 66 }=\frac { 21 } { 121 } $ Trường hợp 2: 1 nam, 1 nữ Xác suất: ​$ \frac { C_{ 8 } ^{ 1 }.C_{ 4 } ^{ 1 } } { C_{ 12 } ^{ 2 } }=\frac { 32 } { 66 } $ Đội 2 sau khi thêm 1 nam, 1 nữ có: 8 nam, 4 nữ. Tổng cặp (1 nam và 1 nữ): 8×4=32 có xác suất là: $ \frac { 32 } { 66 } $ $ ⇒P_{ B_{ 2 } } =\frac { 32 } { 66 }.\frac { 32 } { 66 }=\frac { 256 } { 1089 } $ Trường hợp 3: 2 nữ Xác suất: ​$ \frac { C_{ 4 } ^{ 2 } } { C_{ 12 } ^{ 2 } }=\frac { 6 } { 66 } $ Đội 2 sau khi thêm 2 nữ có: 7 nam, 5 nữ. Tổng cặp (1 nam và 1 nữ): 7×5=35 có xác suất là: $ \frac { 35 } { 66 } $ $ ⇒P_{ B_{ 3 } } =\frac { 6 } { 66 }.\frac { 35 } { 66 }=\frac { 35 } { 727 } $ Vậy $ P_{ B } =P_{ B_{ 1 } } +P_{ B_{ 2 } } +P_{ B_{ 3 } } =\frac { 21 } { 121 }+\frac { 256 } { 1089 }+\frac { 35 } { 727 }=\frac { 995 } { 2178 } $ Kết luận: $ P\left ( { A\left | { B } \right . } \right )=\frac { P\left ( { A∩B } \right ) } { P\left ( { B } \right ) }=\frac { \frac { 419 } { 1485 } } { \frac { 995 } { 2178 } }=\frac { 9218 } { 14925 } $ Vậy $ a=9218 $