Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 42
Một người muốn làm một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là một hình vuông cạnh $x$ (cm), chiều cao là $h$ (cm) (Hình), với $x>0$ và $h>0$, bằng giấy bìa sao cho thể tích của hộp là $256$ cm³.
a) Biểu diễn diện tích bề mặt $S$ của chiếc hộp theo $x$ và $h$.
b) Giải thích vì sao $h=\frac{256}{x^2}$ và $S=x^2+\frac{1024}{x}$.
c) Tìm các kích thước của chiếc hộp tốn ít giấy bìa nhất.
Xem lời giải
Lời giải
a) Diện tích bề mặt của chiếc hộp (không nắp) bằng tổng diện tích của mặt đáy và bốn mặt bên. Do đó $S=x^2+4xh$.
b) Vì chiếc hộp có thể tích là $256$ cm³ nên $x^2h=256$ hay $h=\frac{256}{x^2}$. Từ đó:
$S=x^2+4xh=x^2+4x\cdot\frac{256}{x^2}=x^2+\frac{1024}{x}$.
c) Chiếc hộp tốn ít giấy bìa nhất khi diện tích bề mặt của nó là nhỏ nhất. Vì vậy ta cần tìm giá trị của $x$ ($x>0$) sao cho hàm số $S(x)=x^2+\frac{1024}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: $S'(x)=2x-\frac{1024}{x^2}\\ S'(x)=0\Leftrightarrow x=8$.
Bảng biến thiên:
Do đó $S(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=8$. Khi đó: $h=\frac{256}{64}=4$.
Vậy kích thước của chiếc hộp tốn ít giấy bìa nhất là $8$ cm × $8$ cm × $4$ cm.
