Bài tập nâng cao · Bài 32
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 32
Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $5m_a^2=m_b^2+m_c^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Áp dụng định lý trung tuyến ta có:
$5m_a^2=m_b^2+m_c^2\Leftrightarrow5\left(\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}$
$\Leftrightarrow5(2b^2+2c^2)-5a^2=2(a^2+c^2)-b^2+2(a^2+b^2)-c^2$
$\Leftrightarrow9b^2+9c^2=9a^2\Rightarrow b^2+c^2=a^2$.
Vậy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$.
$5m_a^2=m_b^2+m_c^2\Leftrightarrow5\left(\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}$
$\Leftrightarrow5(2b^2+2c^2)-5a^2=2(a^2+c^2)-b^2+2(a^2+b^2)-c^2$
$\Leftrightarrow9b^2+9c^2=9a^2\Rightarrow b^2+c^2=a^2$.
Vậy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$.