Bài tập nâng cao · Bài 31
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 31
Cho tam giác $ABC$ có chiều cao $h_a=\sqrt{p(p-a)}$. Chứng minh $ABC$ là tam giác cân.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $S=\frac{1}{2}a\cdot h_a=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ nên
$h_a=\sqrt{p(p-a)}\Leftrightarrow2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=a\sqrt{p(p-a)}\Leftrightarrow2\sqrt{(p-b)(p-c)}=a$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có $2\sqrt{(p-b)(p-c)}\leq(p-b)+(p-c)=2p-b-c=a$.
Do đó dấu đẳng thức xảy ra nên $p-b=p-c\Leftrightarrow b=c$.
Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$.
$h_a=\sqrt{p(p-a)}\Leftrightarrow2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=a\sqrt{p(p-a)}\Leftrightarrow2\sqrt{(p-b)(p-c)}=a$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có $2\sqrt{(p-b)(p-c)}\leq(p-b)+(p-c)=2p-b-c=a$.
Do đó dấu đẳng thức xảy ra nên $p-b=p-c\Leftrightarrow b=c$.
Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$.