Bài tập nâng cao · Bài 33
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 33
Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp bằng $r$ và các bán kính đường tròn bàng tiếp các góc $A, B, C$ tương ứng bằng $r_a, r_b, r_c$. Chứng minh rằng nếu $r=r_a-r_b-r_c$ thì góc $A$ là góc vuông.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $r_a=\frac{S}{p-a}$, tương tự $r_b=\frac{S}{p-b}$, $r_c=\frac{S}{p-c}$.
Mặt khác từ công thức diện tích có $r=\frac{S}{p}$.
Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{p-a}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\Rightarrow\frac{a}{p(p-a)}=\frac{2p-(b+c)}{(p-b)(p-c)}$.
Vì $2p-(b+c)=a\Rightarrow p(p-a)=(p-b)(p-c)$; $pa=p(b+c)-bc\Rightarrow bc=p(b+c-a)=\frac{b+c+a}{2}(b+c-a)$
$\Rightarrow2bc=(b+c)^2-a^2\Rightarrow b^2+c^2-a^2=0\Rightarrow a^2=b^2+c^2$.
Theo định lý Pitago ta có $\widehat{A}=90^\circ$.
Mặt khác từ công thức diện tích có $r=\frac{S}{p}$.
Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{p-a}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\Rightarrow\frac{a}{p(p-a)}=\frac{2p-(b+c)}{(p-b)(p-c)}$.
Vì $2p-(b+c)=a\Rightarrow p(p-a)=(p-b)(p-c)$; $pa=p(b+c)-bc\Rightarrow bc=p(b+c-a)=\frac{b+c+a}{2}(b+c-a)$
$\Rightarrow2bc=(b+c)^2-a^2\Rightarrow b^2+c^2-a^2=0\Rightarrow a^2=b^2+c^2$.
Theo định lý Pitago ta có $\widehat{A}=90^\circ$.