Bài tự luận · Bài 56
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 56
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có toạ độ các đỉnh là $A(1;1),B(5;2)$ và $C(4;4)$.
a) Tìm toạ độ điểm $H$ là chân đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$.
b) Giải tam giác $ABC$.
a) Tìm toạ độ điểm $H$ là chân đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$.
b) Giải tam giác $ABC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Xét điểm $H(x;y)$, ta có: $\overrightarrow{AH}=(x-1;y-1),\overrightarrow{BH}=(x-5;y-2),\overrightarrow{BC}=(-1;2)$.
$H(x;y)$ là chân đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$, nên ta có:
- $\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow(x-1)(-1)+(y-1)2=0\Leftrightarrow-x+2y-1=0$ (1)
- Hai vectơ $\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC}$ cùng phương $\Leftrightarrow(x-5)2-(y-2)(-1)=0\Leftrightarrow2x+y-12=0$. (2)
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}-x+2y-1=0\\2x+y-12=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{23}{5}\\y=\dfrac{14}{5}.\end{array}\right.$
Vậy $H\left(\dfrac{23}{5};\dfrac{14}{5}\right)$.
b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(4;1),\overrightarrow{BC}=(-1;2),\overrightarrow{AC}=(3;3)$.
Suy ra: $AB=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=\sqrt{17},BC=\lVert\overrightarrow{BC}\rVert=\sqrt{5}$,
$AC=\lVert\overrightarrow{AC}\rVert=3\sqrt{2}$. $\cos A=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\dfrac{4\cdot3+1\cdot3}{\sqrt{17}\cdot3\sqrt{2}}\approx0,857\Rightarrow\widehat A\approx30^{\circ}57'$.
$\cos B=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{BA\cdot BC}=\dfrac{(-4)(-1)+(-1)2}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{5}}\approx0,217\Rightarrow\widehat B\approx77^{\circ}28'$.
$\widehat C=180^{\circ}-\widehat A-\widehat B\approx71^{\circ}35'$.
$H(x;y)$ là chân đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$, nên ta có:
- $\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow(x-1)(-1)+(y-1)2=0\Leftrightarrow-x+2y-1=0$ (1)
- Hai vectơ $\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC}$ cùng phương $\Leftrightarrow(x-5)2-(y-2)(-1)=0\Leftrightarrow2x+y-12=0$. (2)
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}-x+2y-1=0\\2x+y-12=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{23}{5}\\y=\dfrac{14}{5}.\end{array}\right.$
Vậy $H\left(\dfrac{23}{5};\dfrac{14}{5}\right)$.
b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(4;1),\overrightarrow{BC}=(-1;2),\overrightarrow{AC}=(3;3)$.
Suy ra: $AB=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=\sqrt{17},BC=\lVert\overrightarrow{BC}\rVert=\sqrt{5}$,
$AC=\lVert\overrightarrow{AC}\rVert=3\sqrt{2}$. $\cos A=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\dfrac{4\cdot3+1\cdot3}{\sqrt{17}\cdot3\sqrt{2}}\approx0,857\Rightarrow\widehat A\approx30^{\circ}57'$.
$\cos B=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{BA\cdot BC}=\dfrac{(-4)(-1)+(-1)2}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{5}}\approx0,217\Rightarrow\widehat B\approx77^{\circ}28'$.
$\widehat C=180^{\circ}-\widehat A-\widehat B\approx71^{\circ}35'$.