Bài tự luận · Bài 57
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 57
Cho tam giác $ABC$ có toạ độ các đỉnh là $A(2;2),B(6;3)$ và $C(5;5)$.
a) Tìm toạ độ điểm $H$ là chân đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$.
b) Tính độ dài ba cạnh của tam giác $ABC$ và số đo của góc $C$.
a) Tìm toạ độ điểm $H$ là chân đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$.
b) Tính độ dài ba cạnh của tam giác $ABC$ và số đo của góc $C$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Xét điểm $H(x;y)$, ta có: $\overrightarrow{AH}=(x-2;y-2),\overrightarrow{BH}=(x-6;y-3),\overrightarrow{BC}=(-1;2)$.
$H(x;y)$ là chân đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$ nên ta có:
$\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow(x-2)(-1)+(y-2)2=0\Leftrightarrow-x+2y-2=0$ (1)
Hai vectơ $\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC}$ cùng phương $\Leftrightarrow(x-6)2-(y-3)(-1)=0\Leftrightarrow2x+y-15=0$ (2)
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+2y-2=0\\2x+y-15=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{28}{5}\\y=\dfrac{19}{5}\end{array}\right.$
Vậy $H\left(\dfrac{28}{5};\dfrac{19}{5}\right)$.
b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(4;1),\overrightarrow{CB}=(1;-2),\overrightarrow{CA}=(-3;-3)$.
Suy ra: $AB=\sqrt{17},BC=\sqrt{5}$,
$AC=3\sqrt{2}$. $\cos\widehat C=\dfrac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{CA\cdot CB}=\dfrac{(-3)1+(-3)(-2)}{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$.
Vậy $\widehat C\approx71^{\circ}34'$.
$H(x;y)$ là chân đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$ nên ta có:
$\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow(x-2)(-1)+(y-2)2=0\Leftrightarrow-x+2y-2=0$ (1)
Hai vectơ $\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC}$ cùng phương $\Leftrightarrow(x-6)2-(y-3)(-1)=0\Leftrightarrow2x+y-15=0$ (2)
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+2y-2=0\\2x+y-15=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{28}{5}\\y=\dfrac{19}{5}\end{array}\right.$
Vậy $H\left(\dfrac{28}{5};\dfrac{19}{5}\right)$.
b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(4;1),\overrightarrow{CB}=(1;-2),\overrightarrow{CA}=(-3;-3)$.
Suy ra: $AB=\sqrt{17},BC=\sqrt{5}$,
$AC=3\sqrt{2}$. $\cos\widehat C=\dfrac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{CA\cdot CB}=\dfrac{(-3)1+(-3)(-2)}{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$.
Vậy $\widehat C\approx71^{\circ}34'$.