Bài tập nâng cao · Bài 31
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 31
Cho hàm số $f(x)=mx^{4}+nx^{3}+px^{2}+qx+r\,\,\,(m\neq 0)$. Chia $f(x)$ cho $x-2$ ta được phần dư bằng $2021$, chia $f'(x)$ cho $x-2$ được phần dư $2020$. Gọi $g(x)$ là phần dư khi chia $f(x)$ cho $(x-2)^{2}$. Giá trị của $g(-1)$ là
Xem lời giải
Lời giải
+) Từ giả thiết: chia $f(x)$ cho $x-2$ ta được phần dư bằng $2021$, ta được:
$f(x)=h(x).(x-2)+2021$ (1)
$\Rightarrow f'(x)=h'(x)(x-2)+h(x)\Rightarrow h(x)=f'(x)-h'(x).(x-2)$ (2)
+) Từ giả thiết: chia $f'(x)$ cho $x-2$ được phần dư $2020$, ta được
$f'(x)=k(x)(x-2)+2020$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
$f(x)=\left[ f'(x)-h'(x)(x-2) \right](x-2)+2021=\left[ k(x)(x-2)+2020-h'(x)(x-2) \right](x-2)+2021$
$\Rightarrow f(x)=k(x)(x-2)^{2}-h'(x)(x-2)^{2}+2020(x-2)+2021$.
Suy ra $g(x)=2020(x-2)+2021$. Vậy $g(-1)=-4039$.
$f(x)=h(x).(x-2)+2021$ (1)
$\Rightarrow f'(x)=h'(x)(x-2)+h(x)\Rightarrow h(x)=f'(x)-h'(x).(x-2)$ (2)
+) Từ giả thiết: chia $f'(x)$ cho $x-2$ được phần dư $2020$, ta được
$f'(x)=k(x)(x-2)+2020$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
$f(x)=\left[ f'(x)-h'(x)(x-2) \right](x-2)+2021=\left[ k(x)(x-2)+2020-h'(x)(x-2) \right](x-2)+2021$
$\Rightarrow f(x)=k(x)(x-2)^{2}-h'(x)(x-2)^{2}+2020(x-2)+2021$.
Suy ra $g(x)=2020(x-2)+2021$. Vậy $g(-1)=-4039$.