Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Xác định góc giữa $ SA $ và mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $ (số đo để đơn vị độ và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Gọi $ M $ là trung điểm $ CD $. Kẻ $ OK⊥SM\,\,\left ( { 1 } \right ) $. Lại có: $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥OM \\ CD⊥SO \end{array} \right.⇒CD⊥\left ( { SOM } \right )⇒CD⊥OK{ \rm{ } }\left ( { 2 } \right ) $. Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $, suy ra: $ OK⊥\left ( { SCD } \right ) $. Tam giác $ SOM $ có: $ OM=\frac { a } { 2 };SM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 };SO=\sqrt[] { SM ^ { 2 } -OM ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { \frac { a } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. $ OK=\frac { SO.OM } { SM }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }.\frac { a } { 2 } } { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 6 } $. Dựng $ AH⊥\left ( { SCD } \right ),H∈\left ( { SCD } \right ) $. Ta có: $ \frac { AH } { OK }=\frac { AC } { OC }=2⇒AH=2OK=2.\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 6 }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. Tam giác vuông $ SHA $ có: $ \sin \widehat { HSA }=\frac { AH } { SA }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } } { a }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 } $. Suy ra: $ \widehat { HSA }≈55° $. Vậy $ \left ( { SA;\left ( { SCD } \right ) } \right )=\left ( { SA;SH } \right )= \widehat { HSA }=55° $.