Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $2a$. Gọi $M$ là trung điểm $SD$. Giá trị $\tan$ của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $\Big(ABCD\Big)$ bằng $\frac{x}{y}$, với $x, y$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính tổng $x^2 + y^2$.

Lời giải Trong tam giác $SOD$ dựng $MH \parallel SO, H \in OD$ ta có $MH \perp \Big(ABCD\Big)$. Vậy góc tạo bởi $BM$ và mặt phẳng $\Big(ABCD\Big)$ là $\widehat{MBH}$. Ta có: $$ MH = \frac{1}{2}SO = \frac{1}{2}\sqrt{SD^2 - OD^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4a^2 - 2a^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} $$ $$ BH = \frac{3}{4}BD = \frac{3}{4} \cdot 2a\sqrt{2} = \frac{3a\sqrt{2}}{2} $$ Vậy $\tan\widehat{MBH} = \frac{MH}{BH} = \frac{1}{3}$. Do đó $x = 1, y = 3$ nên $x^2 + y^2 = 10$.