Người ta làm mô hình mô phỏng kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng 1 mét, tâm $ O $. Gọi $ M $ và $ N $ lần lượt là trung điểm của $ SA $ và $ BC $. Biết rằng góc giữa $ MN $ và $ \left ( { ABCD } \right ) $ bằng $ 60° $, côsin góc giữa $ MN $ và mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $ bằng $ \frac { a\sqrt[] { b } } { b } $, với $ a,\,\,b $ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính tổng $ a+b $.

Gọi $ E $, $ F $ lần lượt là trung điểm $ SO $, $ OB $ thì $ EF $ là hình chiếu của $ MN $ trên $ \left ( { SBD } \right ) $. Gọi $ P $ là trung điểm $ OA $ thì $ PN $ là hình chiếu của $ MN $ trên $ \left ( { ABCD } \right ) $. Theo bài ra ta có $ \widehat { MNP }=60° $. Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ CNP $ ta được $ NP ^ { 2 } =CP ^ { 2 } +CN ^ { 2 } -2.CP.CN.\cos45°=\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -2.\frac { 3.1.\sqrt[] { 2 } } { 4 }.\frac { 1 } { 2 }.\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }=\frac { 5 } { 8 } $. Suy ra $ NP=\frac { \sqrt[] { 10 } } { 4 } $, $ MP=NP.\tan60°=\frac { \sqrt[] { 30 } } { 4 } $; $ SO=2MP=\frac { \sqrt[] { 30 } } { 2 } $. $ SB=\sqrt[] { SO ^ { 2 } +OB ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 2 }⇒EF=\sqrt[] { 2 } $. Ta lại có $ MENF $ là hình bình hành (vì $ ME $ và $ NF $ song song và cùng bằng $ \frac { 1 } { 2 }OA $). Gọi $ I $ là giao điểm của $ MN $ và $ EF $, khi đó góc giữa $ MN $ và mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $ là $ \widehat { NIF } $. $ \cos \widehat { NIF }=\frac { IF } { IN }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }.\frac { 4 } { \sqrt[] { 10 } }=\frac { 2\sqrt[] { 5 } } { 5 } $. Vậy $ a=2,\,\,b=5 $ và $ a+b=7 $.