Cho hình tứ diện đều $ SABC $có cạnh $ a $. Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $, $ N $ là điểm trên cạnh $ SM $ sao cho $ SN=\frac { 2 } { 3 }SM $. Giá trị tan của góc tạo bởi đường thẳng $ AN $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là $ \frac { a\sqrt[] { 2 } } { b } $ (với $ \frac { a } { b } $là phân số tối giản, $ a>0,b>0 $). Tính $ a+b $.

Do $ SABC $ là tứ diện đều nên hình chiếu của $ S $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là tâm $ H $đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $ đồng thời cũng là trọng tâm tam giác $ ABC $. Kẻ $ KN $ vuông góc với$ AM $ tại $ K $, ta có: $ NK{ \rm{ // } }SH⇒NK⊥\left ( { ABC } \right ) $ Đặt $ AB=a $, ta có: $ AM=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\left ( { \frac { a } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $ $ AH=\frac { 2 } { 3 }AM=\frac { 2 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. Suy ra: $ SH=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -AH ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. $ \tan\left ( { AN,\left ( { ABC } \right ) } \right )=\tan\left ( { AN,AK } \right )=\tan \widehat { NAK }=\frac { NK } { AK }=\frac { \frac { 1 } { 3 }SH } { AH+HK }=\frac { \frac { 1 } { 3 }SH } { \frac { 2 } { 3 }AM+\frac { 2 } { 3 }.\frac { 1 } { 3 }AM } $ =$ \frac { \frac { 1 } { 3 }SH } { \frac { 8 } { 9 }AM }=\frac { 3 } { 8 }.\frac { \frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } } { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 4 } $. Vậy $ a=1,b=4⇒a+b=5 $.