Bài tự luận · Bài 14
Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai Phương pháp: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai
Bài tự luận Dấu của tam thức bậc hai · Bài 14
(CTST10) Xác định giá trị của các hệ số $a,b,c$ và xét dấu của tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ đi qua ba điểm có toạ độ là $(-1;-4),(0;3)$ và $(1;-14)$;
b) Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ đi qua ba điểm có toạ độ là $(0;-2),(2;6)$ và $(3;13)$;
c) $f(-5)=33,f(0)=3$ và $f(2)=19$.
a) Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ đi qua ba điểm có toạ độ là $(-1;-4),(0;3)$ và $(1;-14)$;
b) Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ đi qua ba điểm có toạ độ là $(0;-2),(2;6)$ và $(3;13)$;
c) $f(-5)=33,f(0)=3$ và $f(2)=19$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(-1;-4)$ nên ta có: $a-b+c=-4$ (1)
Đồ thị hàm số đi qua điểm có toạ độ $(0;3)$ nên ta có: $c=3$ (2)
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(1;-14)$ nên ta có: $a+b+c=-14$ (3)
Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có $\left\{\begin{array}{l}a-b=-7\\a+b=-17\end{array}\right.$, tức là $a=-12$ và $b=-5$.
Vậy $f(x)=-12x^2-5x+3$. Vì tam thức bậc hai $f(x)$ có $a=-12<0$ và hai nghiệm $x_1=-\frac{3}{4}$ và $x_2=\frac{1}{3}$ nên $f(x)$ dương trong khoảng $\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{3}\right)$ và âm trong các khoảng $\left(-\infty;-\frac{3}{4}\right),\left(\frac{1}{3};+\infty\right)$.
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(0;-2)$ nên ta có: $c=-2$ (1).
Đồ thị hàm số đi qua điểm có toạ độ $(2;6)$ nên ta có: $4a+2b+c=6$ (2)
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(3;13)$ nên ta có: $9a+3b+c=13$ (3)
Thay (1) vào phương trình (2) và (3) ta có $\left\{\begin{array}{l}4a+2b=8\\9a+3b=15\end{array}\right.$, tức là $a=1$ và $b=2$.
Vậy $f(x)=x^2+2x-2$.
Vì tam thức bậc hai $f(x)$ có $a=1>0$ và hai nghiệm $x_1=-1-\sqrt{3}$ và $x_2=-1+\sqrt{3}$ nên $f(x)$ âm trong khoảng $(-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3})$ và dương trong các khoảng $(-\infty;-1-\sqrt{3})$ và $(-1+\sqrt{3};+\infty)$.
c) $f(-5)=33$ nên ta có $25a-5b+c=33$ (1)
$f(0)=3$ nên ta có $c=3$ (2)
$f(2)=19$ nên ta có $4a+2b+c=19$ (3)
Thay (2) vào phương trình $(1)$ và $(3)$ ta có $\left\{\begin{array}{l}25a-5b=30\\4a+2b=16\end{array}\right.$, tức là $a=2$ và $b=4$.
Vậy $f(x)=2x^2+4x+3$. Vì tam thức bậc hai $f(x)$ có $a=2>0$ và $\Delta'=-2<0$ nên $f(x)$ dương với mọi $x\in\mathbb{R}$.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có toạ độ $(0;3)$ nên ta có: $c=3$ (2)
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(1;-14)$ nên ta có: $a+b+c=-14$ (3)
Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có $\left\{\begin{array}{l}a-b=-7\\a+b=-17\end{array}\right.$, tức là $a=-12$ và $b=-5$.
Vậy $f(x)=-12x^2-5x+3$. Vì tam thức bậc hai $f(x)$ có $a=-12<0$ và hai nghiệm $x_1=-\frac{3}{4}$ và $x_2=\frac{1}{3}$ nên $f(x)$ dương trong khoảng $\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{3}\right)$ và âm trong các khoảng $\left(-\infty;-\frac{3}{4}\right),\left(\frac{1}{3};+\infty\right)$.
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(0;-2)$ nên ta có: $c=-2$ (1).
Đồ thị hàm số đi qua điểm có toạ độ $(2;6)$ nên ta có: $4a+2b+c=6$ (2)
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(3;13)$ nên ta có: $9a+3b+c=13$ (3)
Thay (1) vào phương trình (2) và (3) ta có $\left\{\begin{array}{l}4a+2b=8\\9a+3b=15\end{array}\right.$, tức là $a=1$ và $b=2$.
Vậy $f(x)=x^2+2x-2$.
Vì tam thức bậc hai $f(x)$ có $a=1>0$ và hai nghiệm $x_1=-1-\sqrt{3}$ và $x_2=-1+\sqrt{3}$ nên $f(x)$ âm trong khoảng $(-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3})$ và dương trong các khoảng $(-\infty;-1-\sqrt{3})$ và $(-1+\sqrt{3};+\infty)$.
c) $f(-5)=33$ nên ta có $25a-5b+c=33$ (1)
$f(0)=3$ nên ta có $c=3$ (2)
$f(2)=19$ nên ta có $4a+2b+c=19$ (3)
Thay (2) vào phương trình $(1)$ và $(3)$ ta có $\left\{\begin{array}{l}25a-5b=30\\4a+2b=16\end{array}\right.$, tức là $a=2$ và $b=4$.
Vậy $f(x)=2x^2+4x+3$. Vì tam thức bậc hai $f(x)$ có $a=2>0$ và $\Delta'=-2<0$ nên $f(x)$ dương với mọi $x\in\mathbb{R}$.