Bài tự luận · Bài 12
Bài tự luận Ôn tập Lượng giác 11 · Bài 12
Giải các phương trình sau:
a) $ sin3x=-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $
b) $ tan\left ( { \frac { x } { 3 }+10 ^ { ° } } \right )=-\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } } $;
c) $ sin3x-cos5x=0 $;
d) $ tan3xtanx=1 $.
a) $ sin3x=-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $
b) $ tan\left ( { \frac { x } { 3 }+10 ^ { ° } } \right )=-\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } } $;
c) $ sin3x-cos5x=0 $;
d) $ tan3xtanx=1 $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $ sin3x=-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }\Leftrightarrow sin3x=sin\left ( { -\frac { \pi } { 3 } } \right ) $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x=-\frac { \pi } { 3 }+k2\pi \\ 3x=\pi +\frac { \pi } { 3 }+k2\pi \\ \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac { \pi } { 9 }+k\frac { 2\pi } { 3 } \\ x=\frac { 4\pi } { 9 }+k\frac { 2\pi } { 3 } \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}). \right. \right. $
b) Ta có
$ tan\left ( { \frac { x } { 3 }+10 ^ { ° } } \right )=-\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }\Leftrightarrow tan\left ( { \frac { x } { 3 }+10 ^ { ° } } \right )=tan\left ( { -30 ^ { ° } } \right )\Leftrightarrow \frac { x } { 3 }+10 ^ { ° } =-30 ^ { ° } +k180 ^ { ° } \Leftrightarrow x=-120 ^ { ° } +k540 ^ { ° } (k\in \mathbb{Z}). $
c) Ta có
$ sin3x-cos5x=0\Leftrightarrow sin3x=sin\left ( { \frac { \pi } { 2 }-5x } \right )\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x=\frac { \pi } { 2 }-5x+k2\pi \\ 3x=\pi -(\frac { \pi } { 2 }-5x)+k2\pi \\ \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac { \pi } { 16 }+k\frac { \pi } { 4 } \\ x=-\frac { \pi } { 4 }-k\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}). \right. \right. $
d) Điều kiện $ \left \{ \begin{array}{l} cos3x\neq 0 \\ cosx\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow cos3x\neq 0 $. Ta có
$ tan3xtanx=1\Leftrightarrow tan3x=cotx\Leftrightarrow tan3x=tan\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right ) $
$ \Leftrightarrow 3x=\frac { \pi } { 2 }-x+k\pi \Leftrightarrow x=\frac { \pi } { 8 }+k\frac { \pi } { 4 }(k\in \mathbb{Z}). $
Ta thấy $ x=\frac { \pi } { 8 }+k\frac { \pi } { 4 } $ thoả mãn điều kiện.
Vậy nghiệm của phương trình là $ x=\frac { \pi } { 8 }+k\frac { \pi } { 4 }(k\in \mathbb{Z}) $.
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x=-\frac { \pi } { 3 }+k2\pi \\ 3x=\pi +\frac { \pi } { 3 }+k2\pi \\ \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac { \pi } { 9 }+k\frac { 2\pi } { 3 } \\ x=\frac { 4\pi } { 9 }+k\frac { 2\pi } { 3 } \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}). \right. \right. $
b) Ta có
$ tan\left ( { \frac { x } { 3 }+10 ^ { ° } } \right )=-\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }\Leftrightarrow tan\left ( { \frac { x } { 3 }+10 ^ { ° } } \right )=tan\left ( { -30 ^ { ° } } \right )\Leftrightarrow \frac { x } { 3 }+10 ^ { ° } =-30 ^ { ° } +k180 ^ { ° } \Leftrightarrow x=-120 ^ { ° } +k540 ^ { ° } (k\in \mathbb{Z}). $
c) Ta có
$ sin3x-cos5x=0\Leftrightarrow sin3x=sin\left ( { \frac { \pi } { 2 }-5x } \right )\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x=\frac { \pi } { 2 }-5x+k2\pi \\ 3x=\pi -(\frac { \pi } { 2 }-5x)+k2\pi \\ \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac { \pi } { 16 }+k\frac { \pi } { 4 } \\ x=-\frac { \pi } { 4 }-k\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}). \right. \right. $
d) Điều kiện $ \left \{ \begin{array}{l} cos3x\neq 0 \\ cosx\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow cos3x\neq 0 $. Ta có
$ tan3xtanx=1\Leftrightarrow tan3x=cotx\Leftrightarrow tan3x=tan\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right ) $
$ \Leftrightarrow 3x=\frac { \pi } { 2 }-x+k\pi \Leftrightarrow x=\frac { \pi } { 8 }+k\frac { \pi } { 4 }(k\in \mathbb{Z}). $
Ta thấy $ x=\frac { \pi } { 8 }+k\frac { \pi } { 4 } $ thoả mãn điều kiện.
Vậy nghiệm của phương trình là $ x=\frac { \pi } { 8 }+k\frac { \pi } { 4 }(k\in \mathbb{Z}) $.