Bài tự luận · Bài 13
Bài tự luận Ôn tập Lượng giác 11 · Bài 13
Giải các phương trình sau:
a) $ sin5x+cos5x=-1 $;
b) $ cos3x-cos5x=sinx $;
c) $ 2cos ^ { 2 } x+cos2x=2 $;
d) $ sin ^ { 4 } x+cos ^ { 4 } x=\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x $.
a) $ sin5x+cos5x=-1 $;
b) $ cos3x-cos5x=sinx $;
c) $ 2cos ^ { 2 } x+cos2x=2 $;
d) $ sin ^ { 4 } x+cos ^ { 4 } x=\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $ sin5x+cos5x=-1\Leftrightarrow \sqrt[] { 2 }sin\left ( { 5x+\frac { \pi } { 4 } } \right )=-1 $
$ \Leftrightarrow sin\left ( { 5x+\frac { \pi } { 4 } } \right )=-\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x+\frac { \pi } { 4 }=-\frac { \pi } { 4 }+k2\pi \\ 5x+\frac { \pi } { 4 }=\pi +\frac { \pi } { 4 }+k2\pi \\ \end{array} \right. $
Từ đó ta được $ \left[ \begin{array}{l} x=-\frac { \pi } { 10 }+k\frac { 2\pi } { 5 } \\ x=\frac { \pi } { 5 }+k\frac { 2\pi } { 5 } \\ \end{array} \right. $
b) Ta có $ cos3x-cos5x=sinx\Leftrightarrow -2sin\frac { 3x+5x } { 2 }sin\frac { 3x-5x } { 2 }=sinx $
$ \Leftrightarrow 2sin4xsinx=sinx\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} sinx=0 \\ sin4x=\frac { 1 } { 2 }. \\ \end{array} \right. $
- Với $ sinx=0 $ ta được $ x=k\pi (k\in \mathbb{Z}) $.
- Với $\sin 4x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
4x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\
4x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
x=\frac{\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}\\
x=\frac{5\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}
\end{array}\right.,\ k\in\mathbb{Z}$.
c) Ta có
$ 2cos ^ { 2 } x+cos2x=2\Leftrightarrow \left ( { 2cos ^ { 2 } x-1 } \right )+cos2x=1\Leftrightarrow 2cos2x=1\Leftrightarrow cos2x=cos\frac { \pi } { 3 }\Leftrightarrow 2x=±\frac { \pi } { 3 }+k2\pi . $
Từ đó ta được $ x=±\frac { \pi } { 6 }+k\pi (k\in \mathbb{Z}) $.
d) Ta có
$ sin ^ { 4 } x+cos ^ { 4 } x=\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x\Leftrightarrow \left ( { sin ^ { 2 } x+cos ^ { 2 } x } \right ) ^ { 2 } -2sin ^ { 2 } xcos ^ { 2 } x=\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x\Leftrightarrow 1-\frac { 1 } { 2 }(2sinxcosx) ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x. $
Từ đó, ta được $ 1-\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x=\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x\Leftrightarrow sin ^ { 2 } 2x=1\Leftrightarrow cos2x=0 $
$ \Leftrightarrow 2x=\frac { \pi } { 2 }+k\pi \Leftrightarrow x=\frac { \pi } { 4 }+k\frac { \pi } { 2 }(k\in \mathbb{Z}). $
$ \Leftrightarrow sin\left ( { 5x+\frac { \pi } { 4 } } \right )=-\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x+\frac { \pi } { 4 }=-\frac { \pi } { 4 }+k2\pi \\ 5x+\frac { \pi } { 4 }=\pi +\frac { \pi } { 4 }+k2\pi \\ \end{array} \right. $
Từ đó ta được $ \left[ \begin{array}{l} x=-\frac { \pi } { 10 }+k\frac { 2\pi } { 5 } \\ x=\frac { \pi } { 5 }+k\frac { 2\pi } { 5 } \\ \end{array} \right. $
b) Ta có $ cos3x-cos5x=sinx\Leftrightarrow -2sin\frac { 3x+5x } { 2 }sin\frac { 3x-5x } { 2 }=sinx $
$ \Leftrightarrow 2sin4xsinx=sinx\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} sinx=0 \\ sin4x=\frac { 1 } { 2 }. \\ \end{array} \right. $
- Với $ sinx=0 $ ta được $ x=k\pi (k\in \mathbb{Z}) $.
- Với $\sin 4x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
4x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\
4x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
x=\frac{\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}\\
x=\frac{5\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}
\end{array}\right.,\ k\in\mathbb{Z}$.
c) Ta có
$ 2cos ^ { 2 } x+cos2x=2\Leftrightarrow \left ( { 2cos ^ { 2 } x-1 } \right )+cos2x=1\Leftrightarrow 2cos2x=1\Leftrightarrow cos2x=cos\frac { \pi } { 3 }\Leftrightarrow 2x=±\frac { \pi } { 3 }+k2\pi . $
Từ đó ta được $ x=±\frac { \pi } { 6 }+k\pi (k\in \mathbb{Z}) $.
d) Ta có
$ sin ^ { 4 } x+cos ^ { 4 } x=\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x\Leftrightarrow \left ( { sin ^ { 2 } x+cos ^ { 2 } x } \right ) ^ { 2 } -2sin ^ { 2 } xcos ^ { 2 } x=\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x\Leftrightarrow 1-\frac { 1 } { 2 }(2sinxcosx) ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x. $
Từ đó, ta được $ 1-\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x=\frac { 1 } { 2 }sin ^ { 2 } 2x\Leftrightarrow sin ^ { 2 } 2x=1\Leftrightarrow cos2x=0 $
$ \Leftrightarrow 2x=\frac { \pi } { 2 }+k\pi \Leftrightarrow x=\frac { \pi } { 4 }+k\frac { \pi } { 2 }(k\in \mathbb{Z}). $