Bài tập nâng cao · Bài 37
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 37
Số tập con có ba phần tử của tập $\{2^1,2^2,\ldots,2^{2020}\}$ sao cho ba phần tử đó có thể xếp thành một cấp số nhân tăng bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Nhận xét: $2^{a} ;2^{b} ;2^{c}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} 2^{a} .2^{c} =\left( 2^{b} \right)^{2} \\ a < b < c \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+c=2b \\ a < b < c \end{array} \right.$
Do đó, số tập con thỏa đề bằng với số cách chọn 3 số $a < b < c$ thuộc $\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;\ldots ;2020 \end{array} \right\}$ thỏa $a+c=2b$.
Do $a+c$ chẵn nên $a,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
TH1: $a,c$ cùng chẵn
Số cách chọn 3 số $a < b < c$ thuộc $\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;\ldots ;2020 \end{array} \right\}$ thỏa $a+c=2b$ bằng với số cách chọn hai số chẵn khác nhau thuộc $\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;\ldots ;2020 \end{array} \right\}$ là: $C_{1010}^{2}$
TH2: $a,c$ cùng lẻ
Số cách chọn 3 số $a < b < c$ thuộc $\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;\ldots ;2020 \end{array} \right\}$ thỏa $a+c=2b$ bằng với số cách chọn hai số lẻ khác nhau thuộc $\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;\ldots ;2020 \end{array} \right\}$ là: $C_{1010}^{2}$
Vậy số tập con thỏa đề là: $2C_{1010}^{2}=1019090$.
Do đó, số tập con thỏa đề bằng với số cách chọn 3 số $a < b < c$ thuộc $\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;\ldots ;2020 \end{array} \right\}$ thỏa $a+c=2b$.
Do $a+c$ chẵn nên $a,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
TH1: $a,c$ cùng chẵn
Số cách chọn 3 số $a < b < c$ thuộc $\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;\ldots ;2020 \end{array} \right\}$ thỏa $a+c=2b$ bằng với số cách chọn hai số chẵn khác nhau thuộc $\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;\ldots ;2020 \end{array} \right\}$ là: $C_{1010}^{2}$
TH2: $a,c$ cùng lẻ
Số cách chọn 3 số $a < b < c$ thuộc $\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;\ldots ;2020 \end{array} \right\}$ thỏa $a+c=2b$ bằng với số cách chọn hai số lẻ khác nhau thuộc $\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3;\ldots ;2020 \end{array} \right\}$ là: $C_{1010}^{2}$
Vậy số tập con thỏa đề là: $2C_{1010}^{2}=1019090$.