Bài tập nâng cao · Bài 8
Dạng 2. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 8
(Sở Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{mx+9}{4x+m}$ nghịch biến trên khoảng $(0;4)$?
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện: $x\neq -\frac{m}{4}$.
Ta có: $y'=\frac{m^{2}-36}{(4x+m)^{2}}$.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0;4) \Leftrightarrow y'<0, \forall x\in (0;4)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m^{2}-36<0 \\ -\frac{m}{4}\notin (0;4) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -6<m<6 \\ \left[ \begin{array}{l} -\frac{m}{4}\leq 0 \\ -\frac{m}{4}\geq 4 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -6<m<6 \\ \left[ \begin{array}{l} m\geq 0 \\ m\leq -16 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\leq m<6$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 0,1,2,3,4,5 \right\}$.
Vậy có $6$ giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: $y'=\frac{m^{2}-36}{(4x+m)^{2}}$.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0;4) \Leftrightarrow y'<0, \forall x\in (0;4)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m^{2}-36<0 \\ -\frac{m}{4}\notin (0;4) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -6<m<6 \\ \left[ \begin{array}{l} -\frac{m}{4}\leq 0 \\ -\frac{m}{4}\geq 4 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -6<m<6 \\ \left[ \begin{array}{l} m\geq 0 \\ m\leq -16 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\leq m<6$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 0,1,2,3,4,5 \right\}$.
Vậy có $6$ giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.