Bài tự luận · Bài 28
Bài tự luận Tích phân · Bài 28
Cho hàm số $ f(x)=\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{ll} x ^ { 2 } , & x\leq 1, \\ \frac { 1 } { x }, & x>1. \\ \end{array} \end{array} \right. $
a) Chứng tỏ rằng hàm số $ f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $.
b) Tính $ \int _{ -1 }^{ 2 } { f }(x)dx $.
a) Chứng tỏ rằng hàm số $ f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $.
b) Tính $ \int _{ -1 }^{ 2 } { f }(x)dx $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Hàm số $ f(x) $ liên tục trên các khoảng $ (-\infty ;1) $ và $ (1;+\infty ) $.
Ta có $ \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } f(x)=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } x ^ { 2 } =1;\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } f(x)=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { 1 } { x }=1;f(1)=1 $.
Suy ra hàm số $ f(x) $ liên tục tại $ x=1 $.
Vậy hàm số $ f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $.
b) $ \int _{ -1 }^{ 2 } { f }(x)dx=\int _{ -1 }^{ 1 } { f }(x)dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { f }(x)dx=\int _{ -1 }^{ 1 } { x ^ { 2 } } dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1 } { x } } dx=\left | { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ._{ -1 } ^{ 1 }+\left | { \ln x } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 2 } { 3 }+\ln 2 $.
Ta có $ \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } f(x)=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } x ^ { 2 } =1;\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } f(x)=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { 1 } { x }=1;f(1)=1 $.
Suy ra hàm số $ f(x) $ liên tục tại $ x=1 $.
Vậy hàm số $ f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $.
b) $ \int _{ -1 }^{ 2 } { f }(x)dx=\int _{ -1 }^{ 1 } { f }(x)dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { f }(x)dx=\int _{ -1 }^{ 1 } { x ^ { 2 } } dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1 } { x } } dx=\left | { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ._{ -1 } ^{ 1 }+\left | { \ln x } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 2 } { 3 }+\ln 2 $.