Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 12

Ta có $y'=6x^{2}-6x-6m$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;\,1)$ khi và chỉ khi $y'\leq 0$ với $\forall x\in (-1;\,1)$ hay $m\geq x^{2}-x$ với $\forall x\in (-1;\,1)$.
Xét $f(x)=x^{2}-x$ trên khoảng $(-1;\,1)$ ta có $f'(x)=2x-1$; $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $m\geq f(x)$ với $\forall x\in (-1;\,1) \Leftrightarrow m\geq 2$.
* Có thể sử dụng $y'\leq 0$ với $\forall x\in (-1;\,1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y'(-1)\leq 0 \\ y'(1)\leq 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -6m\leq 0 \\ 12-6m\leq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\geq 0 \\ m\geq 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow m\geq 2$.