Bài tập nâng cao · Bài 13
Dạng 3. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 13
(THPT Chuyên Hạ Long - 2018) Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y=x^{3}-3(2m+1)x^{2}+(12m+5)x+2$ đồng biến trên khoảng $(2;\,+\infty)$. Tìm số phần tử của $S$
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
$y'=3x^{2}-6(2m+1)x+12m+5$.
Hàm số đồng biến trong khoảng $(2;\,+\infty)$ khi $y'\geq 0$, $\forall x\in (2;\,+\infty)$ $\Leftrightarrow 3x^{2}-6(2m+1)x+12m+5\geq 0$, $\forall x\in (2;+\infty)$.
$3x^{2}-6(2m+1)x+12m+5\geq 0$ $\Leftrightarrow m\leq \frac{3x^{2}-6x+5}{12(x-1)}$
Xét hàm số $g(x)=\frac{3x^{2}-6x+5}{12(x-1)}$ với $x\in (2;\,+\infty)$.
$g'(x)=\frac{3x^{2}-6x+1}{12(x-1)^{2}}>0$ với $\forall x\in (2;\,+\infty)$ $\Rightarrow$ hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(2;\,+\infty)$.
Do đó $m\leq g(x)$, $\forall x\in (2;\,+\infty)$ $\Rightarrow m\leq g(2)$ $\Leftrightarrow m\leq \frac{5}{12}$.
Vậy không có giá trị nguyên dương nào của $m$ thỏa mãn bài toán.
$y'=3x^{2}-6(2m+1)x+12m+5$.
Hàm số đồng biến trong khoảng $(2;\,+\infty)$ khi $y'\geq 0$, $\forall x\in (2;\,+\infty)$ $\Leftrightarrow 3x^{2}-6(2m+1)x+12m+5\geq 0$, $\forall x\in (2;+\infty)$.
$3x^{2}-6(2m+1)x+12m+5\geq 0$ $\Leftrightarrow m\leq \frac{3x^{2}-6x+5}{12(x-1)}$
Xét hàm số $g(x)=\frac{3x^{2}-6x+5}{12(x-1)}$ với $x\in (2;\,+\infty)$.
$g'(x)=\frac{3x^{2}-6x+1}{12(x-1)^{2}}>0$ với $\forall x\in (2;\,+\infty)$ $\Rightarrow$ hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(2;\,+\infty)$.
Do đó $m\leq g(x)$, $\forall x\in (2;\,+\infty)$ $\Rightarrow m\leq g(2)$ $\Leftrightarrow m\leq \frac{5}{12}$.
Vậy không có giá trị nguyên dương nào của $m$ thỏa mãn bài toán.