Bài tập nâng cao · Bài 14
Dạng 4. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 14
(Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} \right).$
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $t=\tan x$, vì $x\in \left( 0;\frac{\pi}{4} \right)\Rightarrow t\in (0;1)$
Xét hàm số $f(t)=\frac{t-2}{t-m}\ \forall t\in (0;1)$. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ m \right\}$
Ta có $f'(t)=\frac{2-m}{(t-m)^{2}}$.
Ta thấy hàm số $t(x)=\tan x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} \right)$. Nên để hàm số $y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} \right)$ khi và chỉ khi: $f'(t)>0\ \forall t\in (0;1)$
$\Leftrightarrow \frac{2-m}{(t-m)^{2}}>0\ \forall t\in (0;1)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2-m>0 \\ m\notin (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m<2 \\ \left[ \begin{array}{l} m\leq 0 \\ m\geq 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in (-\infty;0]\cup [1;2)$
Xét hàm số $f(t)=\frac{t-2}{t-m}\ \forall t\in (0;1)$. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ m \right\}$
Ta có $f'(t)=\frac{2-m}{(t-m)^{2}}$.
Ta thấy hàm số $t(x)=\tan x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} \right)$. Nên để hàm số $y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} \right)$ khi và chỉ khi: $f'(t)>0\ \forall t\in (0;1)$
$\Leftrightarrow \frac{2-m}{(t-m)^{2}}>0\ \forall t\in (0;1)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2-m>0 \\ m\notin (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m<2 \\ \left[ \begin{array}{l} m\leq 0 \\ m\geq 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in (-\infty;0]\cup [1;2)$