Bài tập nâng cao · Bài 11
Dạng 3. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 11
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=f(x)=\frac{mx^{3}}{3}+7mx^{2}+14x-m+2$ giảm trên nửa khoảng $[1;+\infty)$?
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định $D=\mathbb{R}$, yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
$mx^{2}+14mx+14\leq 0,\forall x\geq 1$, tương đương với $g(x)=\frac{-14}{x^{2}+14x}\geq m$ (1)
Dễ dàng có được $g(x)$ là hàm tăng $\forall x\in [1;+\infty)$, suy ra $\min\limits_{x\geq 1} g(x)=g(1)=-\frac{14}{15}$
Kết luận: (1) $\Leftrightarrow \min\limits_{x\geq 1} g(x)\geq m\Leftrightarrow -\frac{14}{15}\geq m$
$mx^{2}+14mx+14\leq 0,\forall x\geq 1$, tương đương với $g(x)=\frac{-14}{x^{2}+14x}\geq m$ (1)
Dễ dàng có được $g(x)$ là hàm tăng $\forall x\in [1;+\infty)$, suy ra $\min\limits_{x\geq 1} g(x)=g(1)=-\frac{14}{15}$
Kết luận: (1) $\Leftrightarrow \min\limits_{x\geq 1} g(x)\geq m\Leftrightarrow -\frac{14}{15}\geq m$