(KNTT12) Một xưởng mộc dùng gỗ gụ để sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày. Chi phí cho mỗi lần vận chuyển nguyên liệu là 5000 USD, chi phí để lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là 10 USD mỗi ngày, trong đó một đơn vị là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất 1 chiếc bàn. Hỏi mỗi lần xưởng mộc nên đặt mua bao nhiêu đơn vị nguyên liệu và bao lâu đặt giao nguyên liệu một lần để chi phí trung bình hằng ngày (bao gồm chi phí vận chuyển và chi phí lưu trữ) trong chu kì sản xuất giữa các lần giao hàng là ít nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử nguyên liệu được giao sau mỗi $x$ ngày $(x>0)$. Để đảm bảo đủ nguyên liệu cho mỗi chu kì sản xuất, xưởng mộc phải đặt $5x$ đơn vị nguyên liệu cho mỗi lần giao hàng.
Trong mỗi ngày của chu kì sản xuất, lượng nguyên liệu cần được lưu trữ trung bình là $\frac{5x}{2}$ đơn vị nguyên liệu. Do đó, chi phí để lưu trữ nguyên liệu trong $x$ ngày của chu kì sản xuất là $10\cdot\frac{5x}{2}\cdot x=25x^2$ (USD).
Từ đây, chi phí cần bỏ ra cho mỗi chu kì sản xuất là $C(x)=5000+25x^2$. Do đó, ta có hàm chi phí trung bình hằng ngày trong một chu kì sản xuất là $c(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{5000}{x}+25x$
Ta có: $c'(x)=-\frac{5000}{x^2}+25$; $c'(x)=0\Leftrightarrow x=10\sqrt{2}\approx14,14$.
Lập bảng biến thiên:
Vậy để chi phí trung bình hằng ngày trong một chu kì sản xuất là ít nhất thì xưởng mộc nên đặt giao nguyên liệu sau mỗi 14 ngày và mỗi lần giao $5\cdot14=70$ đơn vị nguyên liệu.
