Bài tự luận · Bài 19
Dạng 2. Ứng dụng
Bài tự luận Hàm số hữu tỉ · Bài 19
(KNTT12) Ước tính chi phí hằng năm (tính bằng tỉ đồng) để một nhà máy loại bỏ $p\%$ chất gây ô nhiễm được cho bởi công thức $C=C(p)=\frac{528p}{100-p},0\leq p<100$
a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi thế nào khi $p$ tăng?
b) Có thể loại bỏ được $100\%$ chất gây ô nhiễm không? Vì sao?
c) Xét tính đơn điệu của hàm số $C'(p)$. Giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả này.
a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi thế nào khi $p$ tăng?
b) Có thể loại bỏ được $100\%$ chất gây ô nhiễm không? Vì sao?
c) Xét tính đơn điệu của hàm số $C'(p)$. Giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả này.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có:
$C'(p)=\frac{528(100-p)+528p}{(100-p)^2}=\frac{52800}{(100-p)^2}>0$ với mọi $0\leq p<100$.
Suy ra hàm chi phí $C$ đồng biến trên nửa khoảng $[0;100)$.
Do đó, chi phí cần bỏ ra sẽ luôn tăng khi tăng tỉ lệ loại bỏ $p\%$ chất gây ô nhiễm.
b) Ta có $\lim_{p\to100^-}C=\lim_{p\to100^-}\frac{528p}{100-p}=+\infty$. Do đó, để loại bỏ $100\%$ chất gây ô nhiễm thì cần chi phí vô hạn, nên nhà máy không thể loại bỏ được hoàn toàn chất gây ô nhiễm.
c) Ta có: $C''(p)=\frac{105600}{(100-p)^3}>0$ với mọi $0\leq p<100$ nên hàm số $C'(p)$ đồng biến trên $[0;100)$. Điều này cho thấy khi tỉ lệ phần trăm loại bỏ chất gây ô nhiễm $p$ tăng thì chi phí cho việc loại bỏ 1 đơn vị phần trăm tiếp theo (từ mức $p\%$ lên mức $(p+1)\%$) cũng tăng, nghĩa là chi phí loại bỏ chất gây ô nhiễm càng ngày càng đắt đỏ.
$C'(p)=\frac{528(100-p)+528p}{(100-p)^2}=\frac{52800}{(100-p)^2}>0$ với mọi $0\leq p<100$.
Suy ra hàm chi phí $C$ đồng biến trên nửa khoảng $[0;100)$.
Do đó, chi phí cần bỏ ra sẽ luôn tăng khi tăng tỉ lệ loại bỏ $p\%$ chất gây ô nhiễm.
b) Ta có $\lim_{p\to100^-}C=\lim_{p\to100^-}\frac{528p}{100-p}=+\infty$. Do đó, để loại bỏ $100\%$ chất gây ô nhiễm thì cần chi phí vô hạn, nên nhà máy không thể loại bỏ được hoàn toàn chất gây ô nhiễm.
c) Ta có: $C''(p)=\frac{105600}{(100-p)^3}>0$ với mọi $0\leq p<100$ nên hàm số $C'(p)$ đồng biến trên $[0;100)$. Điều này cho thấy khi tỉ lệ phần trăm loại bỏ chất gây ô nhiễm $p$ tăng thì chi phí cho việc loại bỏ 1 đơn vị phần trăm tiếp theo (từ mức $p\%$ lên mức $(p+1)\%$) cũng tăng, nghĩa là chi phí loại bỏ chất gây ô nhiễm càng ngày càng đắt đỏ.