Bài tự luận · Bài 36
Dạng 3. Ứng dụng
Bài tự luận Hàm số liên tục · Bài 36
(CTST11) Chứng minh rằng phương trình:
a) $x^{3}+3x-1=0$ có nghiệm trong khoảng $(0;1)$;
b) $x=\cos x$ có nghiệm trong khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} \right)$.
a) $x^{3}+3x-1=0$ có nghiệm trong khoảng $(0;1)$;
b) $x=\cos x$ có nghiệm trong khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Xét hàm số $f(x)=x^{3}+3x-1$. Hàm số này liên tục trên $\mathbb{R}$.
Do $f(0)\cdot f(1)=(-1)\cdot 3=-3 < 0$ nên phương trình $f(x)=0$ hay $x^{3}+3x-1=0$ có nghiệm trong khoảng $(0;1)$.
b) Xét hàm số $f(x)=x-\cos x$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ta có $f(0)=0-\cos 0=-1 < 0;f\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}>0$.
Suy ra $f(0).f\left( \frac{\pi}{4} \right) < 0$. Do đó, phương trình $f(x)=x-\cos x=0$ hay $x=\cos x$ có nghiệm trong khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} \right)$.
Do $f(0)\cdot f(1)=(-1)\cdot 3=-3 < 0$ nên phương trình $f(x)=0$ hay $x^{3}+3x-1=0$ có nghiệm trong khoảng $(0;1)$.
b) Xét hàm số $f(x)=x-\cos x$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ta có $f(0)=0-\cos 0=-1 < 0;f\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}>0$.
Suy ra $f(0).f\left( \frac{\pi}{4} \right) < 0$. Do đó, phương trình $f(x)=x-\cos x=0$ hay $x=\cos x$ có nghiệm trong khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} \right)$.