Gọi $n$ là số nguyên dương sao cho $\frac{1}{\log_3 x} + \frac{1}{\log_{3^2} x} + \frac{1}{\log_{3^3} x} + \dots + \frac{1}{\log_{3^n} x} = \frac{190}{\log_3 x}$ đúng với mọi $x$ dương, $x \neq 1$. Tìm $n$.

Lời giải Ta có: $$ \frac{1}{\log_3 x} + \frac{1}{\log_{3^2} x} + \frac{1}{\log_{3^3} x} + \dots + \frac{1}{\log_{3^n} x} = \frac{190}{\log_3 x} $$ $$ \Leftrightarrow \log_x 3 + \log_x 3^2 + \log_x 3^3 + \dots + \log_x 3^n = 190 \cdot \log_x 3 $$ $$ \Leftrightarrow \log_x 3 + 2\log_x 3 + 3\log_x 3 + \dots + n\log_x 3 = 190 \cdot \log_x 3 $$ $$ \Leftrightarrow 1 + 2 + 3 + \dots + n = 190 \Leftrightarrow \frac{n(n+1)}{2} = 190 $$ Giải phương trình trên ta được $n = -20$ hoặc $n = 19$. Do $n$ là số nguyên dương nên $n = 19$.