Cho các số thực dương $ a $, $ b $,$ c $ ( với $ a $,$ c $ khác 1) thỏa mãn các điều kiện $ \log_{ a } \left ( { ac ^ { 2 } } \right )=\log_{ c } \left ( { b ^ { 3 } c } \right ) $ và $ 2\log_{ a } c+\log_{ c } b=8 $. Biết giá trị của biểu thức $ P=\log_{ a } b+\log_{ c } \left ( { ab ^ { 2 } } \right ) $ bằng $ \frac { m } { n } $ ( với $ m,n∈\mathbb{Z};\frac { m } { n } $ là phân số tối giản). Khi đó giá trị cuả $ m-2n $ bằng bao nhiêu ?

Từ giả thiết $ \left \{ \begin{array}{l} \log_{ a } \left ( { ac ^ { 2 } } \right )=\log_{ c } \left ( { b ^ { 3 } c } \right ) \\ 2\log_{ a } c+\log_{ c } b=8 \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} 1+2\log_{ a } c=1+3\log_{ c } b \\ 2\log_{ a } c+\log_{ c } b=8 \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} 2\log_{ a } c-3\log_{ c } b=0 \\ 2\log_{ a } c+\log_{ c } b=8 \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} \log_{ a } c=3 \\ \log_{ c } b=2 \end{array} \right. $. Ta có: $ P=\log_{ a } b+\log_{ c } \left ( { ab ^ { 2 } } \right )=\log_{ a } c\log_{ c } b+\log_{ c } a+2\log_{ c } b=2.3+\frac { 1 } { 3 }+2.2=\frac { 31 } { 3 } $. Khi đó $ m=31,n=3 $. Do đó $ m-2n=31-2.3=25 $.