Biết $ \log_{ 5 } 12=a $; $ \log_{ 12 } 24=b $. Giá trị của $ \log_{ 108 } 120 $ được tính theo $ a $ và $ b $ là

Do $ \log_{ 5 } 12=a $; $ \log_{ 12 } 24=b ⇒a\,;\,b>0 $ Ta có $ \log_{ 5 } 12=a ⇔\log_{ 5 } \left ( { 2 ^ { 2 } .3 } \right )=a ⇔2\log_{ 5 } 2+\log_{ 5 } 3=a $ $ \left ( { 1 } \right ) $ $ \log_{ 12 } 24=b ⇔\frac { \log_{ 5 } 24 } { \log_{ 5 } 12 }=b ⇔\frac { 3\log_{ 5 } 2+\log_{ 5 } 3 } { a }=b ⇔3\log_{ 5 } 2+\log_{ 5 } 3=ab $ $ \left ( { 2 } \right ) $ Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} 2\log_{ 5 } 2+\log_{ 5 } 3=a \\ 3\log_{ 5 } 2+\log_{ 5 } 3=ab \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} \log_{ 5 } 2=ab-a \\ \log_{ 5 } 3=3a-2ab \end{array} \right. $ Mặt khác: $ \log_{ 108 } 120=\frac { \log_{ 5 } 120 } { \log_{ 5 } 108 }=\frac { \log_{ 5 } \left ( { 2 ^ { 3 } .3.5 } \right ) } { \log_{ 5 } \left ( { 2 ^ { 2 } .3 ^ { 3 } } \right ) }=\frac { 3\log_{ 5 } 2+\log_{ 5 } 3+1 } { 2\log_{ 5 } 2+3\log_{ 5 } 3 } $ $ ⇒\log_{ 108 } 120=\frac { ab+1 } { 2\left ( { ab-a } \right )+3\left ( { 3a-2ab } \right ) }=\frac { ab+1 } { 2ab-2a+9a-6ab }=\frac { ab+1 } { 7a-4ab }=\frac { ab+1 } { a\left ( { 7-4b } \right ) } $ Vậy $ \log_{ 108 } 120=\frac { ab+1 } { a\left ( { 7-4b } \right ) } $.