Cho các số thực dương $ x,y $ khác $ 1 $ thỏa mãn $ \log_{ 2 } x=\log_{ y } 16 $ và $ xy=64 $. Giá trị của biểu thức $ \left ( { \log_{ 2 } \frac { x } { y } } \right ) ^ { 2 } $ bằng

$ \log_{ 2 } x=\log_{ y } 16 $ ⇔ $ \log_{ 2 } \frac { 64 } { y }=4\log_{ y } 2 $ ⇔ $ 6-\log_{ 2 } y=\frac { 4 } { \log_{ 2 } y } $ ⇔ $ \left ( { \log_{ 2 } y } \right ) ^ { 2 } -6\log_{ 2 } y+4=0 $ ⇔ $ \left[ \begin{array}{l} \log_{ 2 } y=3-\sqrt[] { 5 } \\ \log_{ 2 } y=3+\sqrt[] { 5 } \\ \end{array} \right. $ Với: $ \log_{ 2 } y=3-\sqrt[] { 5 } $ ⇒ $ \log_{ 2 } x=6-\left ( { 3-\sqrt[] { 5 } } \right )=3+\sqrt[] { 5 } $ $ \log_{ 2 } \frac { x } { y }=\log_{ 2 } x-\log_{ 2 } y=3+\sqrt[] { 5 }-\left ( { 3-\sqrt[] { 5 } } \right )=2\sqrt[] { 5 } $ ⇒ $ \left ( { \log_{ 2 } \frac { x } { y } } \right ) ^ { 2 } =20 $ Với: $ \log_{ 2 } y=3+\sqrt[] { 5 } $ ⇒ $ \log_{ 2 } x=6-\left ( { 3+\sqrt[] { 5 } } \right )=3-\sqrt[] { 5 } $ $ \log_{ 2 } \frac { x } { y }=\log_{ 2 } x-\log_{ 2 } y=3-\sqrt[] { 5 }-\left ( { 3+\sqrt[] { 5 } } \right )=-2\sqrt[] { 5 } $ ⇒ $ \left ( { \log_{ 2 } \frac { x } { y } } \right ) ^ { 2 } =20 $ Vậy với các số $ x,y $ thỏa mãn ycbt thì ta luôn có: $ \left ( { \log_{ 2 } \frac { x } { y } } \right ) ^ { 2 } =20. $