Cho bốn điểm $M(6;-4),N(7;3),P(0;4),Q(-1;-3)$. Chứng minh rằng tứ giác $MNPQ$ là hình vuông.

Question

Dạng 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và ứng dụng Phương pháp Cho hai vectơ $a=(a_1;a_2),b=(b_1;b_2)$ và hai điểm $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$. Ta có: - $a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2$ - $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$; - $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$ - $\lVert a\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - $\cos(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$; ($a,b$ khác $0$). Cho bốn điểm $M(6;-4),N(7;3),P(0;4),Q(-1;-3)$. Chứng minh rằng tứ giác $MNPQ$ là hình vuông.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: $\overrightarrow{MN}=(1;7);\overrightarrow{QP}=(1;7);\overrightarrow{NP}=(-7;1)$; suy ra $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}=(1;7)\\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{NP}=1(-7)+7\cdot1=0\Rightarrow MN\perp NP\MN=NP=\sqrt{50}.\end{array}ight.$ Tứ giác $MNPQ$ có hai cạnh đối song song và bằng nhau, có một góc vuông và hai cạnh liên tiếp bằng nhau suy ra $MNPQ$ là hình vuông.

Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 83