Bài tự luận · Bài 82
Dạng 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và ứng dụng Phương pháp Cho hai vectơ $a=(a_1;a_2),b=(b_1;b_2)$ và hai điểm $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$. Ta có: - $a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2$ - $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$; - $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$ - $\lVert a\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - $\cos(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$; ($a,b$ khác $0$).
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 82
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;3)$ và $B(7;1)$.
a) Tính chu vi của tam giác $OAB$.
b) Chứng minh rằng $OA$ vuông góc với $AB$. Tính diện tích của tam giác $OAB$.
c) Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Tính số đo góc $\widehat{BOM}$.
a) Tính chu vi của tam giác $OAB$.
b) Chứng minh rằng $OA$ vuông góc với $AB$. Tính diện tích của tam giác $OAB$.
c) Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Tính số đo góc $\widehat{BOM}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do $A(1;3)$ và $B(7;1)$ suy ra
$OA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10};OB=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50};AB=\sqrt{(7-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{40}$.
Suy ra chu vi của tam giác $OAB$ bằng
$OA+AB+OB=\sqrt{10}+\sqrt{50}+\sqrt{40}=5\sqrt2+3\sqrt{10}$.
b) Theo kết quả của phần a), ta có $OA^2+AB^2=10+40=50=OB^2$. Từ đó, theo định lí Pythagore tam giác $OAB$ vuông tại $A$, hay $OA\perp AB$.
Suy ra diện tích tam giác $OAB$ bằng $S_{OAB}=\dfrac12\cdot OA\cdot AB=10$ (đ.v.d.t).
c) Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên $M(4;2)$. Suy ra $OM=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$ và do đó $\cos(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OM})=\dfrac{\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OM}}{\lVert\overrightarrow{OB}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{OM}\rVert}=\dfrac{7\cdot4+1\cdot2}{\sqrt{50}\cdot\sqrt{20}}=\dfrac3{\sqrt{10}}$.
Suy ra $0^{\circ}<(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OM})<90^{\circ}$ và do đó $\widehat{BOM}=(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OM})\approx18^{\circ}26'6''$.
Nhận xét. Ta có thể chứng minh được $OA$ vuông góc với $AB$ nhờ vào tích vô hướng, mà không cần phải tính độ dài của các đoạn thẳng như sau:
Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow{OA}=(1;3),\overrightarrow{AB}=(6;-2)$.
Suy ra $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=1\cdot6+3(-2)=0$
Từ đó, do các vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AB}$ đều khác $0$, suy ra $OA\perp AB$.
Một cách khái quát, để chứng minh hai đường thẳng $MN$ và $PQ$ vuông góc với nhau, ta chứng minh $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{PQ}=0$.
$OA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10};OB=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50};AB=\sqrt{(7-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{40}$.
Suy ra chu vi của tam giác $OAB$ bằng
$OA+AB+OB=\sqrt{10}+\sqrt{50}+\sqrt{40}=5\sqrt2+3\sqrt{10}$.
b) Theo kết quả của phần a), ta có $OA^2+AB^2=10+40=50=OB^2$. Từ đó, theo định lí Pythagore tam giác $OAB$ vuông tại $A$, hay $OA\perp AB$.
Suy ra diện tích tam giác $OAB$ bằng $S_{OAB}=\dfrac12\cdot OA\cdot AB=10$ (đ.v.d.t).
c) Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên $M(4;2)$. Suy ra $OM=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$ và do đó $\cos(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OM})=\dfrac{\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OM}}{\lVert\overrightarrow{OB}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{OM}\rVert}=\dfrac{7\cdot4+1\cdot2}{\sqrt{50}\cdot\sqrt{20}}=\dfrac3{\sqrt{10}}$.
Suy ra $0^{\circ}<(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OM})<90^{\circ}$ và do đó $\widehat{BOM}=(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OM})\approx18^{\circ}26'6''$.
Nhận xét. Ta có thể chứng minh được $OA$ vuông góc với $AB$ nhờ vào tích vô hướng, mà không cần phải tính độ dài của các đoạn thẳng như sau:
Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow{OA}=(1;3),\overrightarrow{AB}=(6;-2)$.
Suy ra $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=1\cdot6+3(-2)=0$
Từ đó, do các vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AB}$ đều khác $0$, suy ra $OA\perp AB$.
Một cách khái quát, để chứng minh hai đường thẳng $MN$ và $PQ$ vuông góc với nhau, ta chứng minh $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{PQ}=0$.