Bài tự luận · Bài 81
Dạng 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và ứng dụng Phương pháp Cho hai vectơ $a=(a_1;a_2),b=(b_1;b_2)$ và hai điểm $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$. Ta có: - $a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2$ - $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$; - $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$ - $\lVert a\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - $\cos(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$; ($a,b$ khác $0$).
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 81
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(-4;1),B(2;4)$, $C(2;-2)$
a) Giải tam giác
b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.
a) Giải tam giác
b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có:
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=(2-(-4);4-1)=(6;3)\\\overrightarrow{BC}=(2-2;-2-4)=(0;-6)\\\overrightarrow{AC}=(2-(-4);-2-1)=(6;-3)\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}AB=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=3\sqrt{5}\\BC=\lVert\overrightarrow{BC}\rVert=6\\AC=\lVert\overrightarrow{CA}\rVert=3\sqrt{5}\end{array}\right.$
Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$, ta có:
$\cos\widehat A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{(3\sqrt5)^2+(3\sqrt5)^2-6^2}{2\cdot3\sqrt5\cdot3\sqrt5}=\dfrac35\Rightarrow\widehat A\approx53,13^{\circ}$
$\cos\widehat B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{6^2+(3\sqrt5)^2-(3\sqrt5)^2}{2\cdot6\cdot3\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}\Rightarrow\widehat B\approx63,435^{\circ}$
$\Rightarrow\widehat C\approx63,435^{\circ}$
Vậy tam giác $ABC$ có: $a=6;b=3\sqrt5;c=3\sqrt5$;
$\widehat A\approx53,13^{\circ};\widehat B=\widehat C\approx63,435^{\circ}$.
b)
Gọi H có tọa độ (x; y)
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}=(x-(-4);y-1)=(x+4;y-1)\\\overrightarrow{BH}=(x-2;y-4)\end{array}\right.$
Lại có: $H$ là trực tâm tam giác $ABC$
$\Rightarrow AH\perp BC$ và $BH\perp AC$
$\Rightarrow(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC})=90^{\circ}\Leftrightarrow\cos(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC})=0$
và $(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{AC})=90^{\circ}\Leftrightarrow\cos(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{AC})=0$
Do đó $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0$
Mà: $\overrightarrow{BC}=(0;-6)$
$\Rightarrow(x+4)\cdot0+(y-1)(-6)=0\Leftrightarrow-6(y-1)=0\Leftrightarrow y=1$.
Và $\overrightarrow{AC}=(6;-3)\Rightarrow(x-2)6+(y-4)(-3)=0$
$\Leftrightarrow6x-12+(-3)(-3)=0$
$\Leftrightarrow6x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac12$. Vậy H có tọa độ $\left(\dfrac12;1\right)$.
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=(2-(-4);4-1)=(6;3)\\\overrightarrow{BC}=(2-2;-2-4)=(0;-6)\\\overrightarrow{AC}=(2-(-4);-2-1)=(6;-3)\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}AB=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=3\sqrt{5}\\BC=\lVert\overrightarrow{BC}\rVert=6\\AC=\lVert\overrightarrow{CA}\rVert=3\sqrt{5}\end{array}\right.$
Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$, ta có:
$\cos\widehat A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{(3\sqrt5)^2+(3\sqrt5)^2-6^2}{2\cdot3\sqrt5\cdot3\sqrt5}=\dfrac35\Rightarrow\widehat A\approx53,13^{\circ}$
$\cos\widehat B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{6^2+(3\sqrt5)^2-(3\sqrt5)^2}{2\cdot6\cdot3\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}\Rightarrow\widehat B\approx63,435^{\circ}$
$\Rightarrow\widehat C\approx63,435^{\circ}$
Vậy tam giác $ABC$ có: $a=6;b=3\sqrt5;c=3\sqrt5$;
$\widehat A\approx53,13^{\circ};\widehat B=\widehat C\approx63,435^{\circ}$.
b)
Gọi H có tọa độ (x; y)
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}=(x-(-4);y-1)=(x+4;y-1)\\\overrightarrow{BH}=(x-2;y-4)\end{array}\right.$
Lại có: $H$ là trực tâm tam giác $ABC$
$\Rightarrow AH\perp BC$ và $BH\perp AC$
$\Rightarrow(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC})=90^{\circ}\Leftrightarrow\cos(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC})=0$
và $(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{AC})=90^{\circ}\Leftrightarrow\cos(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{AC})=0$
Do đó $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0$
Mà: $\overrightarrow{BC}=(0;-6)$
$\Rightarrow(x+4)\cdot0+(y-1)(-6)=0\Leftrightarrow-6(y-1)=0\Leftrightarrow y=1$.
Và $\overrightarrow{AC}=(6;-3)\Rightarrow(x-2)6+(y-4)(-3)=0$
$\Leftrightarrow6x-12+(-3)(-3)=0$
$\Leftrightarrow6x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac12$. Vậy H có tọa độ $\left(\dfrac12;1\right)$.