Dạng 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và ứng dụng
Phương pháp
Cho hai vectơ $a=(a_1;a_2),b=(b_1;b_2)$ và hai điểm $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$. Ta có:
- $a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2$
- $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$;
- $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$
- $\lVert a\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
- $\cos(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$; ($a,b$ khác $0$).
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 80
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1;2),B(-4;3)$. Gọi $M(t;0)$ là một điểm thuộc trục hoành.
a) Tính $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}$ theo t.
b) Tính t để $\widehat{AMB}=90^{\circ}$
Xem lời giải
Lời giải
a)
Ta có: $A(1;2),B(-4;3)$ và $M(t;0)$
$\Rightarrow\overrightarrow{AM}=(t-1;-2),\overrightarrow{BM}=(t+4;-3)$
$\Rightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=(t-1)(t+4)+(-2)(-3)=t^2+3t+2$
b)
Để $\widehat{AMB}=90^{\circ}$ hay $AM\perp BM$ thì $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0$
$\Leftrightarrow t^2+3t+2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=-1\\t=-2\end{array}\right.$
Vậy $t=-1$ hoặc $t=-2$ thì $\widehat{AMB}=90^{\circ}$
