Bài tự luận · Bài 79
Dạng 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và ứng dụng Phương pháp Cho hai vectơ $a=(a_1;a_2),b=(b_1;b_2)$ và hai điểm $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$. Ta có: - $a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2$ - $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$; - $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$ - $\lVert a\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - $\cos(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$; ($a,b$ khác $0$).
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 79
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $M(1;3),N(4;2)$.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng $OM,ON,MN$.
b) Chứng minh rằng tam giác $OMN$ vuông cân.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng $OM,ON,MN$.
b) Chứng minh rằng tam giác $OMN$ vuông cân.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $M(1;3)$ và $N(4;2)$.
$\Rightarrow\overrightarrow{OM}=(1;3),\overrightarrow{ON}=(4;2),\overrightarrow{MN}=(4-1;2-3)=(3;-1)$.
$\Rightarrow OM=\|\overrightarrow{OM}\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
$ON=\|\overrightarrow{ON}\|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5$,
$MN=\|\overrightarrow{MN}\|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$.
b) Dễ thấy: $OM=\sqrt{10}=MN\Rightarrow\triangle OMN$ cân tại $M$.
Lại có: $OM^2+MN^2=10+10=20=ON^2$.
$\Rightarrow$ Theo định lí Pythagore đảo, ta có $\triangle OMN$ vuông tại $M$.
Vậy $\triangle OMN$ vuông cân tại $M$.
$\Rightarrow\overrightarrow{OM}=(1;3),\overrightarrow{ON}=(4;2),\overrightarrow{MN}=(4-1;2-3)=(3;-1)$.
$\Rightarrow OM=\|\overrightarrow{OM}\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
$ON=\|\overrightarrow{ON}\|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5$,
$MN=\|\overrightarrow{MN}\|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$.
b) Dễ thấy: $OM=\sqrt{10}=MN\Rightarrow\triangle OMN$ cân tại $M$.
Lại có: $OM^2+MN^2=10+10=20=ON^2$.
$\Rightarrow$ Theo định lí Pythagore đảo, ta có $\triangle OMN$ vuông tại $M$.
Vậy $\triangle OMN$ vuông cân tại $M$.