Bài tự luận · Bài 78
Dạng 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và ứng dụng Phương pháp Cho hai vectơ $a=(a_1;a_2),b=(b_1;b_2)$ và hai điểm $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$. Ta có: - $a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2$ - $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$; - $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$ - $\lVert a\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - $\cos(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$; ($a,b$ khác $0$).
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 78
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(-2;3),B(4;5),C(2;-3)$. Giải tam giác $ABC$ (làm tròn các kết quả đến hàng đơn vị).
Xem lời giải
Lời giải
- Ta có: $AB=\sqrt{(4-(-2))^2+(5-3)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx6$,
$BC=\sqrt{(2-4)^2+(-3-5)^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\approx8;\quad AC=\sqrt{(2-(-2))^2+(-3-3)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx7$.
- Ta có: $\overrightarrow{AB}=(6;2),\overrightarrow{AC}=(4;-6)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\cdot4+2\cdot(-6)=12$.
Suy ra $\cos\widehat{BAC}=\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\|\cdot\|\overrightarrow{AC}\|}=\frac{12}{2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{130}}{130}$.
Vậy $\widehat{BAC}\approx75^\circ$.
Ta có: $\overrightarrow{BA}=(-6;-2),\overrightarrow{BC}=(-2;-8)$ nên
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-6)\cdot(-2)+(-2)\cdot(-8)=28$.
Suy ra $\cos\widehat{ABC}=\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BA}\|\cdot\|\overrightarrow{BC}\|}=\frac{28}{2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{17}}=\frac{7\sqrt{170}}{170}$.
Vậy $\widehat{ABC}\approx58^\circ$.
Suy ra ta có: $\widehat{ACB}=180^\circ-(\widehat{BAC}+\widehat{ABC})\approx180^\circ-(75^\circ+58^\circ)=47^\circ$.
$BC=\sqrt{(2-4)^2+(-3-5)^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\approx8;\quad AC=\sqrt{(2-(-2))^2+(-3-3)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx7$.
- Ta có: $\overrightarrow{AB}=(6;2),\overrightarrow{AC}=(4;-6)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\cdot4+2\cdot(-6)=12$.
Suy ra $\cos\widehat{BAC}=\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\|\cdot\|\overrightarrow{AC}\|}=\frac{12}{2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{130}}{130}$.
Vậy $\widehat{BAC}\approx75^\circ$.
Ta có: $\overrightarrow{BA}=(-6;-2),\overrightarrow{BC}=(-2;-8)$ nên
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-6)\cdot(-2)+(-2)\cdot(-8)=28$.
Suy ra $\cos\widehat{ABC}=\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BA}\|\cdot\|\overrightarrow{BC}\|}=\frac{28}{2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{17}}=\frac{7\sqrt{170}}{170}$.
Vậy $\widehat{ABC}\approx58^\circ$.
Suy ra ta có: $\widehat{ACB}=180^\circ-(\widehat{BAC}+\widehat{ABC})\approx180^\circ-(75^\circ+58^\circ)=47^\circ$.