Cho bốn điểm $A(7;-3),B(8;4),C(1;5),D(0;-2)$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình vuông.

Question

Dạng 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và ứng dụng Phương pháp Cho hai vectơ $a=(a_1;a_2),b=(b_1;b_2)$ và hai điểm $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$. Ta có: - $a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2$ - $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$; - $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$ - $\lVert a\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - $\cos(a,b)=\dfrac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$; ($a,b$ khác $0$). Cho bốn điểm $A(7;-3),B(8;4),C(1;5),D(0;-2)$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình vuông.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;7),\overrightarrow{DC}=(1;7);\overrightarrow{AD}=(-7;1)$. Nhận thấy: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành mà $\|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{AD}\|$ (vì cùng $=5\sqrt2$) hay $AB=AD\Rightarrow ABCD$ là hình thoi. Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=1\cdot(-7)+7\cdot1=0\Rightarrow\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}\Rightarrow AB\perp AD$. Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow ABCD$ là hình vuông (đpcm).

Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 77