Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(3;1;0)$, $B(-1;1;4)$, $C(5;1;-2)$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z+7=0$. Đường thẳng $d$ bất kì nằm trong $(P)$ và luôn đi qua $B$. Gọi $M$ là hình chiếu của $C$ lên $d$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $AM$.
Xem lời giải
Lời giải
Vì $M$ là hình chiếu của $C$ lên $d$ và $B\in d$, ta có $\widehat{BMC}=90^\circ$. Do đó $M$ thuộc mặt cầu đường kính $BC$:
$(S):(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=18$,
có tâm $I(2;1;1)$ và bán kính $R=3\sqrt2$.
Mặt khác $M\in(P)$, nên quỹ tích $M$ là đường tròn giao của $(S)$ với $(P)$. Gọi $J$ là hình chiếu của $I$ lên $(P)$; tính được $J(1;-1;3)$ và bán kính đường tròn giao tuyến là $r=3$.
Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $A,C$ lên $(P)$. Vì $A,B,C$ thẳng hàng nên $E,F,B$ thẳng hàng; tính được
$E(3;-3;2),\qquad F\left(\dfrac53;-\dfrac53;\dfrac83\right)$.
Từ hình học trên mặt phẳng $(P)$,
$AM_{\min}=\sqrt{AE^2+FE^2}=\sqrt{AE^2+(EJ-FJ)^2}=2\sqrt5$.
Dấu bằng xảy ra khi $M\equiv F$.
