Bài tập nâng cao · Bài 38
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 38
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-10;-5;8)$, $B(2;1;-1)$, $C(2;3;0)$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z-9=0$. Điểm $M$ thay đổi trên $(P)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2+2MB^2+3MC^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Chọn điểm $I$ sao cho
$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$.
Từ tọa độ các điểm suy ra $I(0;1;1)$. Khi đó
$IA^2=185,\quad IB^2=8,\quad IC^2=9$.
Khai triển theo $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ và tương tự cho $B,C$, các tích chéo triệt tiêu, nên
$MA^2+2MB^2+3MC^2=6MI^2+IA^2+2IB^2+3IC^2=6MI^2+228$.
Vì $M\in(P)$, $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$. Đặt $\overrightarrow{MI}=k(1;2;-2)$ và kết hợp $M\in(P)$, ta được hệ
$\begin{cases}-x=k,\\1-y=2k,\\1-z=-2k,\\x+2y-2z-9=0,\end{cases}$
suy ra $x=1,y=3,z=-1,k=-1$. Vậy $M(1;3;-1)$, $\overrightarrow{MI}=(-1;-2;2)$ và $MI^2=9$ (tương đương $d(I,(P))=3$).
Do đó giá trị nhỏ nhất là
$6\cdot9+228=282$.
$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$.
Từ tọa độ các điểm suy ra $I(0;1;1)$. Khi đó
$IA^2=185,\quad IB^2=8,\quad IC^2=9$.
Khai triển theo $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ và tương tự cho $B,C$, các tích chéo triệt tiêu, nên
$MA^2+2MB^2+3MC^2=6MI^2+IA^2+2IB^2+3IC^2=6MI^2+228$.
Vì $M\in(P)$, $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$. Đặt $\overrightarrow{MI}=k(1;2;-2)$ và kết hợp $M\in(P)$, ta được hệ
$\begin{cases}-x=k,\\1-y=2k,\\1-z=-2k,\\x+2y-2z-9=0,\end{cases}$
suy ra $x=1,y=3,z=-1,k=-1$. Vậy $M(1;3;-1)$, $\overrightarrow{MI}=(-1;-2;2)$ và $MI^2=9$ (tương đương $d(I,(P))=3$).
Do đó giá trị nhỏ nhất là
$6\cdot9+228=282$.