Trong không gian $Oxyz$, cho ba mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$, $(Q):x-2y+2z-8=0$, $(R):x-2y+2z+4=0$. Một đường thẳng $\Delta$ thay đổi cắt $(P),(Q),(R)$ lần lượt tại $A,B,C$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $AB+\dfrac{96}{AC^2}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ song song. Ta có
$d((R),(P))=1,\qquad d((P),(Q))=3$.
Theo định lí Thales trong không gian, các đoạn chắn trên $\Delta$ tỉ lệ với khoảng cách giữa các mặt phẳng, nên
$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac13$, hay $AB=3AC$.
Đặt $x=AC>0$. Khi đó
$S=3x+\dfrac{96}{x^2}=\dfrac{3x}{2}+\dfrac{3x}{2}+\dfrac{96}{x^2}$.
Theo AM-GM,
$S\geq3\sqrt[3]{\dfrac{3x}{2}\cdot\dfrac{3x}{2}\cdot\dfrac{96}{x^2}}=18$.
Dấu bằng khi $\dfrac{3x}{2}=\dfrac{96}{x^2}$, tức $x^3=64$ hay $AC=4$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $18$.
