Bài tập nâng cao · Bài 41
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 41
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$, với $a,b,c>0$ và $a^2+4b^2+16c^2=49$. Tính $S=a^2+b^2+c^2$ khi khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ đạt giá trị lớn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $(ABC)$. Với tứ diện vuông $OABC$,
$\dfrac1{OH^2}=\dfrac1{OA^2}+\dfrac1{OB^2}+\dfrac1{OC^2}=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}$.
Theo bất đẳng thức Cauchy,
$\dfrac1{OH^2}=\dfrac1{a^2}+\dfrac{2^2}{4b^2}+\dfrac{4^2}{16c^2}\geq\dfrac{(1+2+4)^2}{a^2+4b^2+16c^2}=1$.
Suy ra $OH\leq1$. Dấu bằng khi
$\dfrac1{a^2}=\dfrac2{4b^2}=\dfrac4{16c^2}=\dfrac17$,
nên $a^2=7$, $b^2=\dfrac72$, $c^2=\dfrac74$. Do đó
$S=7+\dfrac72+\dfrac74=\dfrac{49}{4}$.
$\dfrac1{OH^2}=\dfrac1{OA^2}+\dfrac1{OB^2}+\dfrac1{OC^2}=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}$.
Theo bất đẳng thức Cauchy,
$\dfrac1{OH^2}=\dfrac1{a^2}+\dfrac{2^2}{4b^2}+\dfrac{4^2}{16c^2}\geq\dfrac{(1+2+4)^2}{a^2+4b^2+16c^2}=1$.
Suy ra $OH\leq1$. Dấu bằng khi
$\dfrac1{a^2}=\dfrac2{4b^2}=\dfrac4{16c^2}=\dfrac17$,
nên $a^2=7$, $b^2=\dfrac72$, $c^2=\dfrac74$. Do đó
$S=7+\dfrac72+\dfrac74=\dfrac{49}{4}$.