Bài tập nâng cao · Bài 42
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 42
Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M(m;0;0)$, $N(0;n;0)$, $P(0;0;p)$ không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn $m^2+n^2+p^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(MNP)$.
Xem lời giải
Lời giải
Mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình
$\dfrac xm+\dfrac yn+\dfrac zp=1$.
Theo bất đẳng thức Cauchy,
$(m^2+n^2+p^2)\left(\dfrac1{m^2}+\dfrac1{n^2}+\dfrac1{p^2}\right)\geq9$.
Vì $m^2+n^2+p^2=3$, suy ra
$\dfrac1{m^2}+\dfrac1{n^2}+\dfrac1{p^2}\geq3$.
Do đó
$d(O,(MNP))=\dfrac1{\sqrt{1/m^2+1/n^2+1/p^2}}\leq\dfrac1{\sqrt3}$.
Dấu bằng xảy ra khi $m=n=p=1$. Vậy khoảng cách lớn nhất là $\dfrac1{\sqrt3}$.
$\dfrac xm+\dfrac yn+\dfrac zp=1$.
Theo bất đẳng thức Cauchy,
$(m^2+n^2+p^2)\left(\dfrac1{m^2}+\dfrac1{n^2}+\dfrac1{p^2}\right)\geq9$.
Vì $m^2+n^2+p^2=3$, suy ra
$\dfrac1{m^2}+\dfrac1{n^2}+\dfrac1{p^2}\geq3$.
Do đó
$d(O,(MNP))=\dfrac1{\sqrt{1/m^2+1/n^2+1/p^2}}\leq\dfrac1{\sqrt3}$.
Dấu bằng xảy ra khi $m=n=p=1$. Vậy khoảng cách lớn nhất là $\dfrac1{\sqrt3}$.