Bài tập nâng cao · Bài 43
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 43
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(2;0;1)$, $B(3;1;5)$, $C(1;2;0)$, $D(4;2;1)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $D$ sao cho $A,B,C$ nằm cùng phía đối với $(\alpha)$ và tổng khoảng cách từ $A,B,C$ đến $(\alpha)$ lớn nhất. Giả sử $(\alpha)$ có dạng $2x+my+nz-p=0$. Tính $T=m+n+p$.
Xem lời giải
Lời giải
Viết phương trình mặt phẳng qua $D(4;2;1)$ dưới dạng
$a(x-4)+b(y-2)+c(z-1)=0$.
Vì $A,B,C$ cùng phía, chọn hướng pháp tuyến sao cho các biểu thức thế tọa độ đều không âm. Khi đó tổng khoảng cách là
$S=\dfrac{-6a-3b+3c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
Theo Cauchy,
$-6a-3b+3c\leq\sqrt{6^2+3^2+3^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$,
nên $S\leq3\sqrt6$. Dấu bằng khi
$\dfrac a{-6}=\dfrac b{-3}=\dfrac c3$.
Chọn $(a,b,c)=(-2,-1,1)$, ta được
$(\alpha):-2x-y+z+9=0$, tương đương $2x+y-z-9=0$.
Suy ra $m=1,n=-1,p=9$ và $T=m+n+p=9$.
$a(x-4)+b(y-2)+c(z-1)=0$.
Vì $A,B,C$ cùng phía, chọn hướng pháp tuyến sao cho các biểu thức thế tọa độ đều không âm. Khi đó tổng khoảng cách là
$S=\dfrac{-6a-3b+3c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
Theo Cauchy,
$-6a-3b+3c\leq\sqrt{6^2+3^2+3^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$,
nên $S\leq3\sqrt6$. Dấu bằng khi
$\dfrac a{-6}=\dfrac b{-3}=\dfrac c3$.
Chọn $(a,b,c)=(-2,-1,1)$, ta được
$(\alpha):-2x-y+z+9=0$, tương đương $2x+y-z-9=0$.
Suy ra $m=1,n=-1,p=9$ và $T=m+n+p=9$.