Bài tập nâng cao · Bài 70
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 70
Cho hàm số $y=x^{3}+3x^{2}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $M\left( m;0 \right)$ sao cho từ $M$ vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị $\left( C \right)$, trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ có dạng $y=k\left( x-m \right)$.
Để vẽ được 3 tiếp tuyến từ điểm $M$ thì hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x^{3}+3x^{2}=k(x-m) \\ 3x^{2}+6x=k \end{array} \right.$ phải có 3 nghiệm $k$ phân biệt.
Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^{3}+3x^{2}=k(x-m) \\ 3x^{2}+6x=k \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^{3}+3x^{2}=\left( 3x^{2}+6x \right)(x-m) \\ 3x^{2}+6x=k \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ 2x^{2}+\left( 3-3m \right)x-6m=0 \end{array} \right. \\ 3x^{2}+6x=k \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ k=0 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 3x^{2}+6x=k \\ 2x^{2}+\left( 3-3m \right)x-6m=0 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$.
Hệ phương trình trên có 3 nghiệm $k$ phân biệt thì phương trình $2x^{2}+\left( 3-3m \right)x-6m=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m>-\frac{1}{3} \\ m < -3 \end{array} \right. \\ m\neq 0 \end{array} \right.$.
Khi đó ta có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ cho ta 2 giá trị $k_1,k_2$ tương ứng. Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau sẽ có hệ số góc $k_1,k_2$ suy ra:
$\begin{array}{l} k_1.k_2=-1\Leftrightarrow \left( 3x_1^{2}+6x_1 \right)\left( 3x_2^{2}+6x_2 \right)=-1 \\ \Leftrightarrow 9x_1x_2\left[ x_1x_2+2\left( x_1+x_2 \right)+4 \right]=-1 \\ \Leftrightarrow 9\left( -3m \right)\left( -3m+3m-3+4 \right)=-1\Leftrightarrow m=\frac{1}{27}\left( \text{TM} \right) \end{array}$.
Để vẽ được 3 tiếp tuyến từ điểm $M$ thì hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x^{3}+3x^{2}=k(x-m) \\ 3x^{2}+6x=k \end{array} \right.$ phải có 3 nghiệm $k$ phân biệt.
Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^{3}+3x^{2}=k(x-m) \\ 3x^{2}+6x=k \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^{3}+3x^{2}=\left( 3x^{2}+6x \right)(x-m) \\ 3x^{2}+6x=k \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ 2x^{2}+\left( 3-3m \right)x-6m=0 \end{array} \right. \\ 3x^{2}+6x=k \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ k=0 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 3x^{2}+6x=k \\ 2x^{2}+\left( 3-3m \right)x-6m=0 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$.
Hệ phương trình trên có 3 nghiệm $k$ phân biệt thì phương trình $2x^{2}+\left( 3-3m \right)x-6m=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m>-\frac{1}{3} \\ m < -3 \end{array} \right. \\ m\neq 0 \end{array} \right.$.
Khi đó ta có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ cho ta 2 giá trị $k_1,k_2$ tương ứng. Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau sẽ có hệ số góc $k_1,k_2$ suy ra:
$\begin{array}{l} k_1.k_2=-1\Leftrightarrow \left( 3x_1^{2}+6x_1 \right)\left( 3x_2^{2}+6x_2 \right)=-1 \\ \Leftrightarrow 9x_1x_2\left[ x_1x_2+2\left( x_1+x_2 \right)+4 \right]=-1 \\ \Leftrightarrow 9\left( -3m \right)\left( -3m+3m-3+4 \right)=-1\Leftrightarrow m=\frac{1}{27}\left( \text{TM} \right) \end{array}$.